ELIPSOID: KARAKTERISTIKE I PRIMJERI - ARTE - 2025

Elipsoid je površina u prostoru koji pripada skupini kvadrike površina i čija opća jednadžba je u obliku:

To je trodimenzionalni ekvivalent elipse, karakteriziran time da ima eliptične i kružne tragove u nekim posebnim slučajevima. Tragovi su krivulje dobivene presijecanjem elipsoida s ravninom.

Slika 1. Tri različita elipsoida: na vrhu sfera u kojoj su tri poluosi jednake, na dnu lijeva sferoid, s dvije jednake poluosi i drugačijom, i na kraju s desne strane, troosni sferoid, s tri različite osi duljina. Izvor: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Pored elipsoida, postoji još pet četverokuta: jednoslojni i dvobrazni hiperboloid, dvije vrste paraboloida (hiperbolički i eliptični) i eliptični konus. Njegovi tragovi su također stožastog oblika.

Elipsoid se može izraziti i standardnom jednadžbom kartezijanskih koordinata. Elipsoid centriran u podrijetlu (0,0,0) i izražen na taj način podsjeća na elipsu, ali s dodatnim izrazom:

Vrijednosti a, b i c realni su brojevi veći od 0 i predstavljaju tri poluosi elipsoida.

Karakteristike elipsoida

- Standardna jednadžba

Standardna jednadžba u kartezijanskim koordinatama za elipsu centriranu u točki (h, k, m) je:

- Parametrijske jednadžbe elipsoida

U sfernim koordinatama elipsoid se može opisati na sljedeći način:

x = a sin θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Polosi elipsoida ostaju a, b i c, dok su parametri kutovi θ i φ sljedeće slike:

Slika 2. Sferni koordinatni sustav. Elipsoid se može parametrizirati pomoću prikazanih kutova theta i phi kao parametara. Izvor: Wikimedia Commons. Andeggs / Javna domena.

- Tragovi elipsoida

Opća jednadžba površine u prostoru je F (x, y, z) = 0, a tragovi na površini su krivulje:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

U slučaju elipsoida takve su krivulje elipse, a ponekad i kružnice.

- Volumen

Volumen V elipsoida je dan (4/3) π više od produkta njegove tri poluosi:

V = (4/3) π. abeceda

Posebni slučajevi elipsoida

-Elipsoid postaje sfera kada su sve poluosi iste veličine: a = b = c ≠ 0. To ima smisla, budući da je elipsoid poput sfere koja se različito proteže duž svake os.

-Sferoid je elipsoid u kojem su dvije poluosi identične, a treća drugačija, na primjer, mogla bi biti a = b ≠ c.

Sferoid se također naziva elipsoid obrtaja, jer se može stvoriti okretanjem elipse oko jedne osi.

Ako se os rotacije podudara s glavnom osi, sferoid je prolat, ali ako se podudara s manjom osi, on je oblat:

Slika 3. Obloženi sferoid s lijeve strane, a prosti sferoid s desne strane. Izvor: Wikimedia Commons.

Mjera spljoštenosti sferoida (eliptičnosti) dana je razlikom duljine između dvije poluosi, izražene u frakcijskom obliku, to jest, to je jedinica spljoštenosti, dana:

f = (a - b) / a

U ovoj jednadžbi a predstavlja polu-glavnu os, a b pol-minor osi, ne zaboravite da je treća os jednaka jednoj od njih za sferoid. Vrijednost f je između 0 i 1, a za sferoid mora biti veća od 0 (da je jednaka 0, jednostavno bismo imali sferu).

Referentni elipsoid

Planeti i zvijezde općenito nisu savršene sfere, jer rotacijski pokret oko njihovih sjekira spljoštava tijelo na polovima i ispucava ga na ekvatoru.

Zato se čini da je Zemlja nalik na oblatni sferoid, iako ne tako pretjeran kao onaj na prethodnoj slici, a sa svoje strane plinski div Saturn je najplivniji od planeta Sunčevog sustava.

Dakle, realniji način predstavljanja planeta jest pretpostaviti da su poput sfernog ili elipsoida obrtaja čija je polu-glavna osovina ekvatorijalni polumjer, a poluminozna os polarni polumjer.

Pažljivim mjerenjima koja su izvršena na globusu omogućila se izgradnja referentnog elipsoida Zemlje kao najprecizniji način za matematički rad.

Zvijezde također imaju rotacijske pokrete koji im daju više ili manje spljoštene oblike. Brza zvijezda Ahernar, osma najsjajnija zvijezda na noćnom nebu, u južnom zviježđu Eridanus je nevjerojatno eliptična u usporedbi s većinom. Od nas je 144 svjetlosna godina.

S druge krajnosti, prije nekoliko godina znanstvenici su pronašli najsferičniji objekt ikad pronađen: zvijezda Kepler 11145123, udaljena 5000 svjetlosnih godina, dvostruko veće od našeg Sunca i razlika između poluosi od samo 3 km. Kao što se i očekivalo, također se vrti sporije.

Što se tiče Zemlje, ona nije savršen sferoid ni zbog svoje hrapave površine i lokalnih varijacija gravitacije. Zbog toga je na raspolaganju više referentnih sferoida i na svakom je mjestu odabrano najprikladnije za lokalnu geografiju.

Pomoć satelita neprocjenjiva je u stvaranju sve preciznijih modela oblika Zemlje, zahvaljujući njima je, primjerice, poznato da je južni pol bliži ekvatoru nego sjeverni.

Slika 4. Haumea, transneptunski patuljasti planet ima elipsoidni oblik. Izvor: Wikimedia Commons.

Numerički primjer

Uslijed rotacije Zemlje stvara se centrifugalna sila koja joj daje oblik duguljastog elipsoida umjesto sfere. Zna se da je ekvatorijalni polumjer Zemlje 3963 milje, a polusni polumjer 3942 milje.

Pronađite jednadžbu ekvatorijalnog traga, onoga elipsoida i mjeru njegovog spljoštenosti. Uporedite i sa eliptičnošću Saturna, sa dolje navedenim podacima:

-Svaturni ekvatorijalni polumjer: 60.268 km

-Polarni polumjer Saturna: 54.364 km

Riješenje

Potreban je koordinatni sustav, za koji ćemo pretpostaviti da je usredotočen na podrijetlo (središte Zemlje). Pretpostavit ćemo da je okomita z osi, a trag koji odgovara ekvatoru leži na ravnini xy, što je ekvivalentno ravnini z = 0.

U ekvatorijalnoj ravnini su poluosi a i b jednake, dakle a = b = 3963 milje, dok je c = 3942 milje. Ovo je poseban slučaj: sferoid centriran u točki (0,0,0) kako je gore spomenuto.

Ekvatorijalni trag je krug polumjera R = 3963 milje, centriran u izvoru. Izračunava se tako da se u standardnoj jednačini z = 0:

A standardna jednadžba zemaljskog elipsoida je:

f _Zemlja = (a - b) / a = (3963-3942) milja / 3963 milja = 0.0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Imajte na umu da je eliptičnost f bezdimenzijska veličina.

Reference

1. ArcGIS za Desktop. Sferoidi i sfere. Oporavilo sa: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Misterij najsferičnijeg predmeta ikad otkrivenog u Svemiru. Oporavak od: bbc.com.
3. Larson, R. Izračun i analitička geometrija. Šesto izdanje. Svezak 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Elipsoid. Oporavilo sa: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Kuglastih. Oporavilo sa: en.wikipedia.org.