ŠTO SU KOPLANARNI VEKTORI? (S RIJEŠENIM VJEŽBAMA) - FIZIČKA - 2024

U vektori višeslojnih ili u jednoj ravnini, su oni koji se nalaze u istoj ravnini. Kad postoje samo dva vektora, oni su uvijek koplanarni, budući da postoje beskonačne ravnine, uvijek je moguće odabrati onaj koji ih sadrži.

Ako imate tri ili više vektora, možda neki od njih nisu u istoj ravnini kao i ostali, pa se ne mogu smatrati koplanarnim. Sljedeća slika prikazuje skup koplanarnih vektora označenih podebljanim A, B, C i D:

Slika 1. Četiri koplanarna vektora. Izvor: self made.

Vektori su povezani s ponašanjem i svojstvima fizikalnih veličina relevantnih za znanost i inženjerstvo; na primjer brzina, ubrzanje i sila.

Sila proizvodi različite efekte na objekt kad se mijenja način na koji se primjenjuje, na primjer mijenjajući intenzitet, smjer i smjer. Čak i mijenjajući samo jedan od tih parametara, rezultati se znatno razlikuju.

U mnogim se primjenama, kako u statici, tako i u dinamici, sile koje djeluju na tijelo nalaze u istoj ravnini pa se smatraju koplanarnim.

Uvjeti da vektori budu koplanarni

Da bi tri vektora bila koplanarna, oni moraju ležati na istoj ravnini, a to se događa ako ispunjavaju bilo koji od sljedećih uvjeta:

-Vektori su paralelni, stoga su njihove komponente proporcionalne i linearno ovisne.

-Vaš miješani proizvod je nula.

-Ako imate tri vektora i bilo koji se od njih može napisati kao linearna kombinacija ostala dva, ti su vektori koplanarni. Na primjer, vektor koji je rezultat zbroja dva druga, tri su svi u istoj ravnini.

Alternativno, uvjet koplanarnosti može se postaviti na sljedeći način:

Mješoviti proizvod između tri vektora

Miješani produkt između vektora definiran je s tri vektora u, v i w, što rezultira skalarom koji je rezultat obavljanja sljedeće operacije:

u · (v x w) = u · (v x w)

Prvo se provodi umreženi proizvod koji se nalazi u zagradama: v x w , čiji je rezultat normalan vektor (okomit) na ravninu u kojoj leže i v i w .

Ako u je u istoj ravnini kao i v i w , naravno skalarni produkt (skalarni produkt) između ui rekao normalni vektor mora biti 0. Na taj način se utvrdi da su tri vektora su na istoj ravnini (leže u istoj ravnini).

Kada miješani proizvod nije jednak nuli, njegov je rezultat jednak volumenu paralelepipeda koji su vektori u , v i w kao susjedne strane.

Prijave

Koplanarne, istodobne i nekolinearne sile

Sve istodobne sile primjenjuju se na istu točku. Ako su također koplanarne, mogu ih zamijeniti jednom, koja se naziva rezultirajuća sila i ima isti učinak kao izvorne sile.

Ako je tijelo u ravnoteži zahvaljujući tri koplanarne, istodobne i nekokolinearne (a ne paralelne) sile, nazvane A , B i C, Lamyjev teorem ukazuje da je odnos između tih sila (veličine) sljedeći:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Sa α, β i γ kao suprotni kutovi primijenjenim silama, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Slika 2. Tri koplanarne sile A, B i C djeluju na objekt. Izvor: Kiwakwok na engleskoj Wikipediji

Riješene vježbe

-Vježba 1

Pronađite vrijednost k tako da su sljedeći vektori koplanarni:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Riješenje

Budući da imamo komponente vektora, koristi se kriterij mješovitog proizvoda:

u (v x w) = 0

Prvo riješite v x w. Vektori će biti izraženi u jediničnim vektorima i, j i k koji razlikuju tri okomita smjera u prostoru (širina, visina i dubina):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Sada razmotrimo skalarni proizvod između u i vektora koji je rezultat prethodne operacije, postavljajući operaciju jednaku 0:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Tražena vrijednost je: k = - 6

Dakle, vektor u je:

u = <-3, -6, 2>

-Vježba 2

Na slici je prikazan predmet čija je težina W = 600 N, koji visi u ravnoteži zahvaljujući kablovima smještenim pod kutovima prikazanima na slici 3. Je li moguće primijeniti Lamyjev teorem u ovoj situaciji? U svakom slučaju, naći magnitude T ₁, T _2, a T ₃ da bi ravnoteža moguće.

Slika 3. Težina visi u ravnoteži pod djelovanjem tri prikazana naprezanja. Izvor: self made.

Riješenje

Lamyev teorem je primjenjiv u ovoj situaciji ako se razmotri čvor na koji su primijenjena tri naprezanja, jer oni čine sustav koplanarnih sila. Prvo se izrađuje dijagram slobodnog tijela za viseću težinu, kako bi se odredila veličina T _3:

Slika 4. Dijagram slobodnog tijela za viseću težinu. Izvor: self made.

Iz stanja ravnoteže proizlazi da:

Kutovi između sila na sljedećoj su crti označeni crvenom bojom, lako se može provjeriti je li njihova suma 360º. Sada je moguće primijeniti Lamyjev teorem jer su poznata jedna od sila i tri kuta između njih:

Slika 5.- Crveni su kutovi crteći kako bi se primijenio Lamyjev teorem. Izvor: self made.

T ₁ / sin 127º = Š / sin 106º

Stoga: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Ponovo se primjenjuje Lamyjeva teorema za rješavanje za T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Reference

1. Figueroa, D. Serija: Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Kinematika. 31-68.
2. Fizička. Modul 8: Vektori. Oporavak od: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mehanika za inženjere. Statički 6. izdanje Izdavačka kuća Continental, 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mehanika za inženjere: Statika i dinamika. 3. izdanje McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Oporavilo sa: es.wikipedia.org.