Postoji ortogonalna matrica kada navedena matrica pomnožena s njenim transponiranjem rezultira matricom identiteta. Ako je inverza matrice jednaka transponiranju, tada je izvorna matrica pravokutna.
Ortogonalne matrice imaju karakteristiku da je broj redaka jednak broju stupaca. Nadalje, redni vektori su jedinični pravokutni vektori, a također su i transpozitni redni vektori.
Slika 1. Primjer ortogonalne matrice i kako transformira geometrijske objekte. (Pripremio Ricardo Pérez)
Kada se ortogonalna matrica množi s vektorima vektorskog prostora, ona izometrijska transformacija, tj. Transformacija koja ne mijenja udaljenosti i čuva kutove.
Tipični predstavnik ortogonalnih matrica su rotacijske matrice. Transformacije ortogonalnih matrica na vektorskom prostoru nazivaju se ortogonalne transformacije.
Geometrijske transformacije rotacije i refleksije točaka prikazanih njihovim kartezijanskim vektorima izvode se primjenom ortogonalnih matrica na izvorne vektore kako bi se dobile koordinate transformiranih vektora. Iz tog razloga se pravokutne matrice široko koriste u računalnoj obradi grafike.
Svojstva
Matrica M je ortogonalna ako pomnožen njegova Transpose M T daje kao rezultat matricu identiteta I. Slično tome, proizvod transponiranja ortogonalne matrice izvornom matricom rezultira matricom identiteta:
MM T = M T M = I
Kao posljedica prethodne izjave, zaključujemo da je prijenos ortogonalne matrice jednak njegovoj obrnutoj matrici:
M T = M- 1 .
Skup ortogonalnih matrica dimenzije nxn tvore ortogonalnu skupinu O (n). A podskup O (n) pravokutnih matrica s odrednicom +1 tvori Grupu jedinstvenih posebnih matrica SU (n). Matrice grupe SU (n) su matrice koje proizvode linearne transformacije rotacije, poznate i kao grupa rotacija.
Demonstracija
Želimo pokazati da je matrica pravokutna ako su, i samo ako su, redni vektori (ili vektori stupaca) pravokutni jedni drugima i norme 1.
Pretpostavimo da su redovi ortogonalne matrice nxn n ortonormalni vektori dimenzije n. Ako je označeno s v 1 , v 2 ,…., V n do n vektora vrijedi:
Tamo gdje je vidljivo da je skup vektorskih redova skup ortogonalnih vektora sa normom jedan.
Primjeri
Primjer 1
Pokažite da je 2 x 2 matrica koja u svom prvom redu ima vektor v1 = (-1 0), a u drugom redu je vektor v2 = (0 1) pravokutna matrica.
Rješenje: Izrađuje se matrica M i izračunava se njen transponirani M T:
U ovom primjeru, matrica M je samopostavljena, to jest, matrica i njezin prijenos su identični. Pomnoži M s njegovom transponiranom M T:
Provjereno je da je MM T jednak matrici identiteta:
Kad se matrica M pomnoži s koordinatama vektora ili točke, dobivaju se nove koordinate koje odgovaraju transformaciji koju matrica vrši na vektoru ili točki.
Slika 1 prikazuje kako M pretvara vektor ü u nesigurnosti " i kako se M pretvara plava poligona u crvenom poligona. Budući da je M ortogonalna, tada je riječ o pravokutnoj transformaciji koja čuva udaljenosti i kutove.
Primjer 2
Pretpostavimo da imate 2 x 2 matricu definiranu u rezultatima danim sljedećim izrazom:
Pronađite prave vrijednosti a, b, c i d takve da je matrica M pravokutna matrica.
Rješenje: Po definiciji, matrica je pravokutna ako je množena s transponiranom matricom identiteta. Sjećajući se da je prevedena matrica dobivena iz izvorne, razmjenjujući redove za stupce, dobiva se sljedeća jednakost:
Izvođenjem množenja matrice imamo:
Izjednačavajući elemente lijeve matrice s elementima matrice identiteta na desnoj strani, dobivamo sustav od četiri jednadžbe s četiri nepoznanice a, b, c i d.
Predlažemo za a, b, c i d sljedeće izraze u smislu trigonometrijskih omjera sinusa i kosinusa:
S ovim prijedlogom i zbog temeljnog trigonometrijskog identiteta, prva i treća jednadžba automatski se zadovoljavaju u jednakosti elemenata matrice. Treća i četvrta jednadžba su iste i u matrici jednakosti nakon zamjene predloženih vrijednosti izgleda ovako:
što dovodi do sljedećeg rješenja:
Konačno za ortogonalnu matricu M dobivaju se sljedeća rješenja:
Imajte na umu da prvo od rješenja ima odrednicu +1, pa pripada skupini SU (2), dok drugo rješenje ima odrednicu -1 i, dakle, ne pripada ovoj skupini.
Primjer 3
S obzirom na sljedeću matricu pronađite vrijednosti a i b tako da imamo ortogonalnu matricu.
Rješenje: Da bi jedna matrica bila pravokutna, proizvod s njenim transponiranjem mora biti matrica identiteta. Zatim se provodi matrični produkt danog matriksa s njegovom transponiranom matricom dajući sljedeći rezultat:
Zatim se rezultat izjednačava s matricom identiteta 3 x 3:
U drugom redu, treći stupac ima (ab = 0), ali ne može biti nula, jer u suprotnom ne bi bila ispunjena jednakost elemenata drugog reda i drugog stupca. Tada je nužno b = 0. Pod zamjenu b za vrijednost 0 imamo:
Tada se rješava jednadžba: 2a ^ 2 = 1, čija su rješenja: + ½√2 i -½√2.
Uzimajući pozitivno rješenje za a, dobiva se sljedeća pravokutna matrica:
Čitatelj može lako potvrditi da su redni vektori (i također vektori stupaca) ortogonalni i unitarni, odnosno ortonormalni.
Primjer 4
Pokažite da je matrica A čiji su redni vektori v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) i v3 = (0 0 -1) ortogonalna matrica. Uz to, pronađite da su vektori transformirani iz kanonske osnove i, j, k u vektore u1, u2 i u3.
Rješenje: Treba imati na umu da je element (i, j) matrice pomnožen s njegovom transpozicijom skalarni proizvod vektora retka (i) s onim u stupcu (j) transponiranja. Nadalje, ovaj je proizvod jednak delti Kroneckera u slučaju da je matrica pravokutna:
U našem slučaju izgleda ovako:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
S kojom se pokazuje da je ortogonalna matrica.
Nadalje u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) i na kraju u3 = A k = (0, 0, -1)
Reference
- Anthony Nicolaides (1994) Odrednici i matrice. Proći Publikaciju.
- Birkhoff i MacLane. (1980). Moderna algebra, ur. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Uvod u linearnu algebru. Uredništvo ESIC-a.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matematika od 30 sekundi: 50 najtežih teorija matematike. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonalna matrica. Oporavak od: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonalna matrica. Oporavilo sa: en.wikipedia.com