AKSIOMI VJEROJATNOSTI: VRSTE, OBJAŠNJENJE, PRIMJERI, VJEŽBE - DUDÁS - 2025

U aksiomi vjerojatnosti su matematičke tvrdnje koje se odnose na teoriji vjerojatnosti, koji ne zasluga dokaz. Aksiomi su 1933. godine osnovali ruski matematičar Andrei Kolmogorov (1903-1987) u svojim Temeljima teorije vjerojatnosti i postavili temelje matematičkom proučavanju vjerojatnosti.

Prilikom provođenja određenog slučajnog eksperimenta ξ, uzorak prostora E je skup svih mogućih rezultata eksperimenta, koji se nazivaju i događaji. Bilo koji događaj označen je kao A, a P (A) je vjerojatnost njegovog pojavljivanja. Tada je Kolmogorov utvrdio da:

Slika 1. Aksiomi vjerojatnosti omogućuju nam izračunavanje vjerojatnosti udaranja igara na sreću kao što je rulet. Izvor: Pixabay.

- Aksiom 1 (ne negativnost): vjerojatnost da je bilo koji događaj A uvijek pozitivna ili jednaka nuli, P (A) ≥0. Kada je vjerojatnost nekog događaja jednaka, to se naziva nemogućim događajem.

- Aksiom 2 (izvjesnost): kad god je neki događaj koji pripada E, njegova vjerojatnost nastanka je 1, što možemo izraziti kao P (E) = 1. To je poznato kao određeni događaj, jer kod provođenja eksperimenta sigurno postoji rezultat.

- Aksiom 3 (dodatak): u slučaju dva ili više nespojivih događaja dva po dva, koji se nazivaju A ₁, A ₂, A ₃…, vjerojatnost da _{će se} dogoditi događaj A ₁ plus A ₂ plus A ₃ i tako dalje sukcesivno, to je zbroj vjerojatnosti svakog zbivanja zasebno.

To se izražava kao: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Slika 2. Izvanredni ruski matematičar Andrei Kolmogorov (1903-1987) koji je postavio temelje aksiomatičnoj vjerojatnosti. Izvor: Wikimedia Commons.

Primjer

Aksiomi vjerojatnosti se uveliko koriste u mnoštvu primjena. Na primjer:

Udarci palice ili kopča bacaju se u zrak, a kada padne na pod, postoji mogućnost slijetanja s točke gore (U) ili s točke prema dolje (D) (druge mogućnosti nećemo razmatrati). Prostor uzorka za ovaj eksperiment sastoji se od ovih događaja, tada je E = {U, D}.

Slika 3. U pokusu bacanja rupca postoje dva događaja različitih vjerojatnosti: slijetanje s točkom prema gore ili prema tlu. Izvor: Pixabay.

Primjenom aksioma imamo:

Ako je podjednako vjerovatno slijetanje gore ili dolje, P (U) = P (D) = ½ (Aksiom 1). Međutim, konstrukcija i dizajn sličice može vjerojatno povećati vjerojatnost da će pasti na ovaj ili onaj način. Na primjer, može biti da je P (U) = ¾ dok je P (D) = ¼ (Aksiom 1).

Imajte na umu da u oba slučaja zbroj vjerojatnosti daje 1. Međutim, aksiomi ne naznačuju kako dodijeliti vjerojatnosti, barem ne u potpunosti. Ali, oni navode da su brojevi između 0 i 1, kao i u ovom slučaju, zbroj svih je 1.

Načini dodjeljivanja vjerojatnosti

Aksiomi vjerojatnosti nisu metoda dodjeljivanja vrijednosti vjerojatnosti. Za to su tri mogućnosti kompatibilne s aksiomima:

Laplaceovo pravilo

Svakom događaju dodjeljuje se jednaka vjerojatnost da će se dogoditi, tada je vjerojatnost pojave definirana kao:

Na primjer, kolika je vjerojatnost izvlačenja asa s palube francuskih karata? Paluba ima 52 karte, 13 od kojih je svako odijelo i postoje 4 odijela. Svako odijelo ima 1 asa, tako da ukupno postoje 4 asa:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Laplasovo pravilo ograničeno je na konačne prostore uzoraka, gdje je svaki događaj podjednako vjerojatan.

Relativna frekvencija

Ovdje eksperiment mora biti ponovljiv, jer se metoda temelji na izvođenju velikog broja ponavljanja.

Napravimo i ponavljanja eksperimenta ξ, od kojih nalazimo da je n broj puta kada se neki događaj A dogodi, tada je vjerojatnost da se taj događaj dogodi:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Ako je n / i relativna učestalost događaja.

Definiranje P (A) na ovaj način zadovoljava Kolmogorove aksiome, ali ima nedostatak da se moraju provesti mnoga ispitivanja kako bi vjerojatnost bila prikladna.

Subjektivna metoda

Osoba ili skupina ljudi mogu se složiti da će vjerojatnost dodijeliti nekom događaju, vlastitom prosudbom. Ova metoda ima nedostatak što različiti ljudi mogu dodijeliti različite vjerojatnosti istom događaju.

Vježba riješena

U eksperimentu istovremeno bacanja 3 poštena novca, pribavite vjerojatnost opisanih događaja:

a) 2 glave i rep.

b) 1 glava i dva repa

c) 3 križa.

d) Barem 1 lice.

Rješenje za

Glave su označene sa C, a repovi X. Ali postoji nekoliko načina da se dobiju dvije glave i rep. Primjerice, prve dvije kovanice mogu spustiti glave, a treće mogu odlagati repove. Ili prvi mogu pasti glave, drugi repovi i treći glave. I na kraju, prvi mogu biti repovi i preostale glave.

Za odgovor na pitanja potrebno je znati sve mogućnosti koje su opisane u alatu zvanom dijagram stabla ili stablo vjerojatnosti:

Slika 4. Dijagram stabla za istodobno bacanje tri poštena kovanica. Izvor: F. Zapata.

Vjerojatnost da će bilo koji novčić biti glava je ½, isto vrijedi i za repove, budući da je novac iskren. Desni stupac navodi sve mogućnosti koje bacanje ima, odnosno prostor uzorka.

Iz uzorka su odabrane kombinacije koje odgovaraju na traženi događaj, jer redoslijed pojavljivanja lica nije važan. Postoje tri povoljna događaja: CCX, CXC i XCC. Vjerojatnost svakog događaja se događa:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Isto se događa za događaje CXC i XCC, a svaki od njih ima 1/8 vjerojatnosti da će se dogoditi. Stoga je vjerojatnost dobivanja točno 2 glave zbroj vjerojatnosti svih povoljnih događaja:

P (dvostran) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Rješenje b

Pronalaženje vjerojatnosti da će se dogoditi točno dva križanja problem je analogan prethodnom, postoje i tri povoljna događaja uzeta iz prostora uzorka: CXX, XCX i XXC. Tako:

P (2 križanja) = 3/8 = 0,375

Rješenje c

Intuitivno znamo da je vjerojatnost dobivanja 3 repa (ili 3 glave) manja. U ovom slučaju, traženi događaj je XXX, na kraju desnog stupca, čija je vjerojatnost:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Rješenje d

Zahtijeva se najmanje 1 lice, to znači da mogu izaći 3 lica, 2 lica ili 1 lice. Jedini nespojivi događaj s tim događajem je onaj u kojem izlaze 3 repa čija je vjerojatnost 0,125. Stoga se traži vjerojatnost:

P (najmanje 1 glava) = 1 - 0,125 = 0,875.

Reference

1. Canavos, G. 1988. Vjerojatnost i statistika: Primjene i metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Vjerojatnost i statistika za inženjerstvo i znanost. 8.. Izdanje. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Serija Schaum: Vjerojatnost. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorija vjerojatnosti. Uredništvo Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Vjerojatnost i statistika za inženjering i znanosti. Pearson.