EMPIRIJSKO PRAVILO: KAKO GA PRIMIJENITI, ČEMU SLUŽI, RIJEŠENE VJEŽBE - DUDÁS - 2026

Pravilo je rezultat praktičnog iskustva i promatranja stvarnog života. Na primjer, moguće je znati koje se vrste ptica mogu promatrati na određenim mjestima u svako doba godine i iz tog se promatranja može uspostaviti "pravilo" koje opisuje životne cikluse tih ptica.

U statistici se empirijsko pravilo odnosi na to kako su promatranja grupirana oko središnje vrijednosti, srednje ili prosječne vrijednosti, u jedinicama standardne devijacije.

Pretpostavimo da imate skupinu ljudi prosječne visine 1,62 metra i standardnog odstupanja od 0,25 metra, tada bi nam empirijsko pravilo omogućilo da definiramo, na primjer, koliko bi ljudi bilo u intervalu srednjeg plus ili minus jedno standardno odstupanje?

Prema pravilu, 68% podataka je više ili manje jedno standardno odstupanje od srednje vrijednosti, odnosno 68% ljudi u grupi imat će visinu između 1,37 (1,62-0,25) i 1,87 (1,62 + 0,25)) metara.

Odakle potječe empirijsko pravilo?

Empirijsko pravilo je generalizacija Čeheviševe teoreme i normalna distribucija.

Tchebyshev teorem

Čebešev teorem kaže da: za neku vrijednost k> 1, vjerojatnost da slučajna varijabla leži između srednje minus k puta standardne devijacije i srednje vrijednosti plus k, standardno odstupanje je veće ili jednako (1 - 1 / k ²).

Prednost ove teoreme je u tome što se ona primjenjuje na diskretne ili kontinuirane slučajne varijable s bilo kojom raspodjelom vjerojatnosti, ali pravilo definirano iz nje nije uvijek vrlo precizno, jer ovisi o simetriji distribucije. Što je asimetričnija raspodjela slučajne varijable, manje je prilagođeno pravilu njezino ponašanje.

Empirijsko pravilo definirano iz ove teoreme glasi:

Ako je k = √2, 50% podataka govori se u intervalu:

Ako je k = 2, 75% podataka kaže se da je u intervalu:

Ako je k = 3, 89% podataka govori se u intervalu:

Normalna distribucija

Normalna raspodjela, ili Gaussovo zvono, omogućuje uspostavljanje empirijskog pravila ili pravila 68 - 95 - 99.7.

Pravilo se temelji na vjerojatnosti pojave slučajne varijable u intervalima između srednjeg minus jednog, dva ili tri standardna odstupanja i srednje vrijednosti plus jedno, dva ili tri standardna odstupanja.

Empirijsko pravilo definira sljedeće intervale:

68,27% podataka nalazi se u intervalu:

95,45% podataka nalazi se u intervalu:

99,73% podataka nalazi se u intervalu:

Na slici možete vidjeti kako su prikazani ti intervali i odnos između njih pri povećanju širine baze grafikona.

Empirijsko pravilo. Melikamp Standardizacija slučajne varijable, tj. Izraz slučajne varijable u smislu z ili standardna normalna varijabla, pojednostavljuje uporabu empirijskog pravila, jer varijabla z ima srednju vrijednost jednaku nuli, a standardno odstupanje jednako jednaku, Stoga primjena empirijskog pravila u skali standardne normalne varijable, z, definira sljedeće intervale:

68,27% podataka nalazi se u intervalu:

95,45% podataka nalazi se u intervalu:

99,73% podataka nalazi se u intervalu:

Kako primijeniti empirijsko pravilo?

Empirijsko pravilo omogućuje skraćene proračune pri radu s normalnom raspodjelom.

Pretpostavimo da skupina od 100 studenata sveučilišta ima prosječnu dob od 23 godine, sa standardnim odstupanjem od 2 godine. Koje podatke dopušta empirijsko pravilo?

Primjena empirijskog pravila uključuje sljedeće korake:

1- Konstruirajte intervale pravila

Budući da je srednja vrijednost 23, a standardno odstupanje 2, intervali su:

= =

= =

= =

2- Izračunajte broj učenika u svakom intervalu prema postocima

(100) * 68,27% = 68 učenika otprilike

(100) * 95,45% = 95 učenika otprilike

(100) * 99,73% = 100 učenika otprilike

3- Dobni intervali povezani su s brojem učenika i interpretiraju

Najmanje 68 učenika u dobi između 21 i 25 godina.

Najmanje 95 učenika je u dobi između 19 i 27 godina.

Gotovo 100 učenika ima između 17 i 29 godina.

Čemu služi pravilo?

Empirijsko pravilo brz je i praktičan način za analizu statističkih podataka, koji postaje sve pouzdaniji kako distribucija pristupa simetriji.

Njegova korisnost ovisi o području u kojem se koristi i postavljenim pitanjima. Vrlo je korisno znati da je pojava vrijednosti tri standardna odstupanja ispod ili iznad srednje vrijednosti gotovo malo vjerojatna, čak i za ne-normalne varijable raspodjele, najmanje 88,8% slučajeva nalazi se u intervalu tri sigme.

U društvenim znanostima općenito konačan rezultat je raspon srednjeg plus ili minus dva sigma (95%), dok u fizici čestica novi efekt zahtijeva interval od pet sigma (99,99994%) da bi se mogao smatrati otkrićem.

Riješene vježbe

Zečevi u rezervatu

U rezervatu za divlje životinje procjenjuje se da u prosjeku ima 16 000 zečeva sa standardnim odstupanjem od 500 zečeva. Ako je raspodjela varijable „broj zečeva u rezervatu“ nepoznata, je li moguće procijeniti vjerojatnost da je populacija kunića između 15 000 i 17 000 zečeva?

Interval može biti predstavljen ovim uvjetima:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s

Stoga: =

Primjenjujući Tchebyshev teorem, imamo vjerojatnost barem 0,75 da populacija kunića u rezervatu za divlje životinje iznosi između 15 000 i 17 000 zečeva.

Prosječna težina djece u nekoj zemlji

Prosječna težina jednogodišnje djece u nekoj zemlji obično je raspoređena s prosjekom od 10 kilograma i standardnim odstupanjem od oko 1 kilogram.

a) Procijenite postotak jednogodišnje djece u zemlji koja imaju prosječnu težinu između 8 i 12 kilograma.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s

Stoga: =

Prema empirijskom pravilu, može se reći da 68,27% jednogodišnje djece u zemlji ima između 8 i 12 kilograma težine.

b) Kolika je vjerojatnost da će naći jednogodišnje dijete koje je teško 7 kilograma ili manje?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s

Poznato je da 7 kilograma težine predstavlja vrijednost µ - 3s, kao i da je 99,73% djece teže između 7 i 13 kilograma. To ostavlja samo 0,27% ukupne djece za krajnost. Polovica njih, 0,135%, iznosi 7 kilograma ili manje, a druga polovica, 0,135%, iznosi 11 kilograma ili više.

Dakle, može se zaključiti da postoji vjerojatnost 0,00135 da dijete teži 7 kilograma ili manje.

c) Ako stanovništvo zemlje dosegne 50 milijuna stanovnika, a jednogodišnja djeca predstavljaju 1% stanovništva, koliko će jednogodišnje djece težiti između 9 i 11 kilograma?

9 = 10 - 1 = µ - s

11 = 10 + 1 = µ + s

Stoga: =

Prema empirijskom pravilu, 68,27% jednogodišnjih djece u zemlji je u intervalu

U zemlji živi 500.000 jednogodišnjih (1% od 50 milijuna), pa 341.350 djece (68.27% od 500.000) teži između 9 i 11 kilograma.

Reference

1. Abraira, V. (2002). Standardno odstupanje i standardna pogreška. Magazin Semergen. Oporavak s web.archive.org.
2. Freund, R.; Wilson, W.; Mohr, D. (2010). Statističke metode. Treće izd. Academic Press-Elsevier Inc.
3. Alicante server (2017). Empirijsko pravilo (Statistički pojmovi). Oporavak od glosarios.servidor-alicante.com.
4. Lind, D.; Marchal, W.; Wathen, S. (2012). Statistika koja se primjenjuje na poslovanje i gospodarstvo. Petnaesto izd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Salinas, H. (2010). Statistika i vjerojatnosti. Oporavak od uda.cl.
6. Sokal, R.; Rohlf, F. (2009). Uvod u biostatistiku. Drugo izd. Dover publikacije, Inc.
7. Spiegel, M. (1976). Vjerojatnost i statistika. Schaum serija. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistika. Četvrto izd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Stat119 pregled (2019). Rješavanje pitanja empirijskog pravila. Oporavak od stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99.7 pravilo. Oporavilo s en.wikipedia.org.