STVARNI BROJEVI: POVIJEST, PRIMJERI, SVOJSTVA, OPERACIJE - MATEMATIKA - 2025

U realni brojevi predstavljaju brojčanu set koji uključuje prirodni brojevi, brojeva, racionalnog i iracionalnog. Označeni su simbolom ℝ ili jednostavno R, a njihov je domet u znanosti, inženjerstvu i ekonomiji takav da se, kada se govori o „broju“, gotovo uzima zdravo za gotovo da je to pravi broj.

Stvarni brojevi korišteni su od davnina, mada im to ime nije dano. Od trenutka kada je Pitagoras razvio svoj poznati teorem, pojavili su se brojevi koji se nisu mogli dobiti kao kvocijenti prirodnih brojeva ili cijelih brojeva.

Slika 1. Vennov dijagram koji prikazuje kako skup realnih brojeva sadrži ostale skupove brojeva. Izvor> Wikimedia Commons.

Primjeri brojeva su √2, √3 i π. Ti se brojevi nazivaju iracionalnim, za razliku od racionalnih brojeva koji dolaze iz kvocijenata cijelih brojeva. Stoga je bio potreban brojčani skup koji obuhvaća obje klase brojeva.

Izraz "stvarni broj" stvorio je veliki matematičar René Descartes (1596-1650) kako bi razlikovao dvije vrste korijena koji mogu nastati rješavanjem polinomne jednadžbe.

Neki od tih korijena mogu biti čak korijeni negativnih brojeva, Descartes ih je nazvao "imaginarnim brojevima", a oni koji nisu, bili su stvarni brojevi.

Naziv se zadržao tijekom vremena, stvarajući dva velika numerička skupa: stvarne brojeve i složene brojeve, veći skup koji uključuje stvarne brojeve, imaginarne brojeve i one koji su dio stvarni, a dijelom imaginarni.

Evolucija stvarnih brojeva nastavila je svoj put sve dok 1872. godine, matematičar Richard Dedekind (1831.-1936.) Formalno je definirao skup realnih brojeva kroz takozvane Dedekindove rezove. Sinteza njegovog rada objavljena je u članku koji je iste godine ugledao svjetlo.

Primjeri stvarnih brojeva

Tablica u nastavku prikazuje primjere stvarnih brojeva. Ovaj skup ima podskupove prirodnih brojeva, cijelih brojeva, racionalnih i iracionalnih. Bilo koji broj ovih skupova je sam po sebi pravi broj.

Stoga su 0, negativni, pozitivni, ulomci i decimalni brojevi stvarni brojevi.

Slika 2. Primjeri stvarnih brojeva su prirodni, cijeli, racionalni, iracionalni i transcendentni. Izvor: F. Zapata.

Prikaz stvarnih brojeva na stvarnoj liniji

Stvarni brojevi mogu se predstaviti na stvarnoj liniji R, kao što je prikazano na slici. Nije nužno da je 0 uvijek prisutan, već je prikladno znati da su negativni realisti na lijevoj, a pozitivni na desnoj strani. Zbog toga je to izvrsna referentna točka.

Na stvarnoj liniji uzima se ljestvica u kojoj su pronađeni cijeli brojevi:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Strelica označava da se linija proteže do beskonačnosti. Ali to nije sve, u bilo kojem razmatranom intervalu uvijek ćemo pronaći i beskonačne stvarne brojeve.

Stvarni brojevi prikazani su redom. Za početak, tu je redoslijed cijelih brojeva, u kojima je pozitivna vrijednost uvijek veća od 0, dok je negativa manja.

Taj se red čuva u stvarnim brojevima. Sljedeće nejednakosti prikazane su kao primjer:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Slika 3.- Prava linija. Izvor: Wikimedia Commons.

Svojstva realnih brojeva

-Razni brojevi uključuju prirodne brojeve, cijele brojeve, racionalne brojeve i iracionalne brojeve.

-Komutativno svojstvo zbrajanja je ispunjeno: poredak dodataka ne mijenja zbroj. Ako su a i b dva realna broja, uvijek je istina da:

a + b = b + a

-0 je neutralni element zbroja: a + 0 = a

-Za zbroj asocijativnog svojstva je ispunjeno. Ako su a, b i c stvarni brojevi: (a + b) + c = a + (b + c).

-Suprotnost stvarnog broja je -a.

-Oduženje se definira kao zbroj suprotnog: a - b = a + (-b).

-Komutativno svojstvo proizvoda je ispunjeno: redoslijed faktora ne mijenja proizvod: ab = ba

-U proizvodu se primjenjuje i asocijativno svojstvo: (ab).c = a. (Bc)

-1 je neutralni element množenja: a.1 = a

- Distribucijsko svojstvo množenja vrijedi s obzirom na zbrajanje: a. (b + c) = ab + ac

-Dijeljenje sa 0 nije definirano.

-Svaki stvarni broj a, osim 0, ima multiplikativni inverzni ^-1 takav da je aa ^-1 = 1.

-Ako je stvarni broj: a ⁰ = 1 i a ¹ = a.

-Apsolutna vrijednost ili modul stvarnog broja je udaljenost između navedenog broja i 0.

Operacije s realnim brojevima

Sa stvarnim brojevima možete obavljati operacije koje se rade s ostalim brojevima, uključujući zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnaživanje, radikaciju, logaritme i još mnogo toga.

Kao i uvijek, podjela s 0 nije definirana, niti se postavljaju logaritmi negativnih brojeva ili 0, mada je istina da je log 1 = 0 i da su logaritmi brojeva između 0 i 1 negativni.

Prijave

Primjene stvarnih brojeva u svim situacijama vrlo su raznolike. Stvarni brojevi pojavljuju se kao odgovori na mnoge probleme u egzaktnoj znanosti, računarskoj znanosti, inženjerstvu, ekonomiji i društvenim znanostima.

Sve vrste veličine i količine, poput udaljenosti, vremena, sile, intenziteta zvuka, novca i mnogih drugih, imaju svoj izraz u stvarnom broju.

Prijenos telefonskih signala, slika i zvuk videozapisa, temperatura klima uređaja, grijača ili hladnjaka može se digitalno kontrolirati, što znači pretvaranje fizičkih količina u numeričke sekvence.

Isto se događa prilikom obavljanja bankarske transakcije putem Interneta ili savjetovanja s trenutnim porukama. Pravi brojevi su posvuda.

Vježba riješena

Vježbama ćemo vidjeti kako funkcioniraju ovi brojevi u uobičajenim situacijama s kojima se svakodnevno susrećemo.

Vježba 1

Pošta prihvaća samo pakete za koje dužina, plus mjerenje opsega, ne prelazi 108 inča. Stoga, da bi prikazani paket bio prihvaćen, mora biti ispunjeno da:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Proći će paket široki 6 inča, visok 8 i dugačak 5 stopa?

b) Što je s onom koja mjeri 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Koja je najveća prihvatljiva visina paketa čija je baza kvadratna i mjeri 9 x 9 inča ² ?

Odgovor na

L = 5 stopa = 60 inča

x = 6 inča

y = 8 inča

Postupak za rješavanje je:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inča = 60 + 2 x 14 inča = 60 + 28 inča = 88 inča

Paket je prihvaćen.

Odgovor b

Dimenzije ovog paketa su manje od paketa a), pa ih oboje čine prolaznim.

Odgovor c

U ovom paketu:

x = L = 9 inča

Mora se primijetiti da:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

i ≤ 40,5 inča

Reference

1. Carena, M. 2019. Priuveučilišni matematički priručnik. Nacionalno sveučilište Litoral.
2. Diego, A. Realni brojevi i njihova svojstva. Oporavak od: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 9. Stupanj. CO-BO izdanja.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Stewart, J. 2006. Prekalculus: Matematika za račun. 5.. Izdanje. Cengage Learning.