CIJELI BROJEVI: SVOJSTVA, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Cijeli brojevi su skup korisnih brojeva za brojanje objekata dovršenih, a nema. Također prebrojati one koji su s jedne i s druge strane određenog referentnog mjesta.

Također s cijelim brojevima možete izvršiti oduzimanje ili razliku između broja i drugog većeg od njega, na primjer, rezultat se izmiruje kao dug. Razlika između zarade i dugovanja vrši se znakovima + i -.

Slika 1. Redak brojeva za cijele brojeve. Izvor: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Dakle, skup cijelih brojeva uključuje sljedeće:

-Positivni cjelobrojni brojevi, koji se pišu ispred znaka +, ili jednostavno bez znaka, jer se također podrazumijeva da su pozitivni. Na primjer: +1, +2, + 3… i tako dalje.

-O 0, u kojem je znak nebitan, jer ga nema smisla dodavati da bi ga oduzeo od neke količine. No, 0 je vrlo važan, jer je referenca za cijele brojeve: s jedne strane su pozitivi, a s druge negativi, kao što vidimo na slici 1.

-Negativni cijeli brojevi, koji uvijek moraju biti napisani ispred znaka - jer se s njima razlikuju iznosi poput dugova i svi oni koji se nalaze na drugoj strani reference. Primjeri negativnih cjelobrojnih brojeva su: -1, -2, -3… i nakon toga.

Kako su prikazani cijeli brojevi?

Na početku predstavljamo čitave brojeve sa zadanom notacijom: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, odnosno liste i organizirani. Ali vrlo korisno predstavlja onaj koji se koristi brojevnom linijom. Ovo zahtijeva crtanje linije koja je općenito vodoravna, na kojoj je 0 označeno i podijeljeno u identične odjeljke:

Slika 2. Prikaz cijelih brojeva u brojačkoj liniji. Od 0 udesno su pozitivni cijeli brojevi, a od 0 s lijeve strane negativni. Izvor: F. Zapata.

Negativi idu lijevo od 0, a pozitivi desno. Strelice na brojčanoj liniji simboliziraju da brojevi idu u beskonačnost. S obzirom na bilo koji cijeli broj, uvijek je moguće pronaći ono veće ili drugo koje je manje.

Apsolutna vrijednost cijelog broja

Apsolutna vrijednost cijelog broja je udaljenost između broja i 0. I udaljenosti su uvijek pozitivne. Stoga je apsolutna vrijednost negativnog cijelog broja broj bez njegovog minus znaka.

Na primjer, apsolutna vrijednost -5 je 5. Apsolutna vrijednost označena je s trakama, kako slijedi:

--5- = 5

Da biste ga vizualizirali, samo prebrojite razmake u brojčanoj liniji, od -5 do 0. Dok je apsolutna vrijednost pozitivnog cijelog broja isti broj, na primjer - + 3- = 3, jer je njegova udaljenost od 0 jednaka s 3 mjesta:

Slika 3. Apsolutna vrijednost cijelog broja uvijek je pozitivna količina. Izvor: F. Zapata.

Svojstva

-Skup čitavih brojeva označava se sa Z i uključuje skup prirodnih brojeva N, a njihovi su elementi beskonačni.

-Citav broj i onaj koji slijedi (ili onaj koji mu prethodi) uvijek se razlikuju u jedinstvu. Na primjer, nakon 5 dolazi 6, pri čemu je 1 razlika između njih.

-Svaki cijeli broj ima prethodnika i nasljednika.

-Svaki pozitivni cijeli broj je veći od 0.

-Negativni cijeli broj je uvijek manji od 0 i bilo koji pozitivni broj. Uzmimo za primjer broj -100, ovo je manje od 2, 10 i manje od 50. Ali, to je i manje od -10, -20 i -99 i veće je od -200.

-No 0 nema znakova znaka jer nije ni negativno ni pozitivno.

-S cijelim brojevima možete izvoditi iste operacije kao i s prirodnim brojevima, a to su: zbrajanje, oduzimanje, množenje, osnaživanje i još mnogo toga.

- Cijeli broj nasuprot određenom cijelom broju x, je –x, a zbroj cijelog broja sa njegovom suprotnom stranom je 0:

x + (-x) = 0.

Operacije s cijelim brojevima

- Zbroj

-Ako brojevi koji se dodaju imaju isti znak, dodaju se njihove apsolutne vrijednosti i rezultat se stavlja sa znakom koji dodaci imaju. Evo nekoliko primjera:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Ako su brojevi različitog znaka, oduzimaju se apsolutne vrijednosti (najveće od najmanje) i rezultat se stavlja znakom broja s najvećom apsolutnom vrijednošću, kako slijedi:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Svojstva zbroja cijelih brojeva

- Zbroj je komutativan, stoga redoslijed dodataka ne mijenja zbroj. Neka su a i b dva cijela broja, istina je da je a + b = b + a

-0 je neutralni element zbroja cijelih brojeva: a + 0 = a

-Svaka cjelobrojna vrijednost dodana svojoj suprotnosti je 0. Suprotnost + a je –a, i obratno, suprotnost –a je + a. Stoga: (+ a) + (-a) = 0.

Slika 2. Pravilo znakova za zbrajanje cijelih brojeva. Izvor: Wikimedia Commons.

- oduzimanje

Da oduzmemo cijele brojeve, treba se voditi ovim pravilom: oduzimanje je ekvivalentno zbrajanju broja s njegovom suprotnošću. Neka su a i b dva broja, zatim:

a - b = a + (-b)

Na primjer, pretpostavimo da trebate obaviti sljedeću operaciju: (-3) - (+7), a zatim:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Množenje

Pomnožavanje cijelih brojeva slijedi određena pravila za znakove:

-Proizvod od dva broja s istim znakom uvijek je pozitivan.

-Kada se množe dva broja s različitim znakovima, rezultat je uvijek negativan.

-Vrijednost proizvoda jednaka je množenju odgovarajućih apsolutnih vrijednosti.

Odmah nekoliko primjera koji pojašnjavaju gore navedeno:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Svojstva množenja cijelih brojeva

- Množenje je komutativno. Neka su a i b dva cijela broja, istina je da je: ab = ba, koji se može izraziti i kao:

-Neutralan element množenja je 1. Neka je cijeli broj, dakle a.1 = 1

-Svaki cijeli broj pomnožen s 0 jednak je 0: a.0 = 0

Distribucijsko svojstvo

Množenje je u skladu s svojstvom distribucije s obzirom na zbrajanje. Ako su a, b i c cijeli brojevi, tada:

a. (b + c) = ab + ac

Evo primjera kako primijeniti ovo svojstvo:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Osnaživanje

-Ako je baza pozitivna, rezultat operacije je uvijek pozitivan.

-Kada je osnova negativna, ako je eksponent jednak, rezultat je pozitivan. a ako je eksponent neparan, rezultat je negativan.

- Odjel

U podjeli vrijede ista pravila o znakovima kao i u množenju:

-Kada podijelite dva cijela broja istog znaka, rezultat je uvijek pozitivan.

-Kada se podijele dva cijela broja s različitim znakovima, kvocijent je negativan.

Na primjer:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Važno: podjela nije komutativna, drugim riječima a ÷ b ≠ b ÷ a, kao i uvijek, podjela na 0 nije dopuštena.

- Osnaživanje

Neka je cijeli broj, a želimo ga podići na eksponent n, tada moramo množiti a po n puta, kao što je prikazano u nastavku:

a ⁿ = aaaa……a

Također uzmite u obzir sljedeće, uzimajući u obzir da je n prirodni broj:

-Ako je negativan a n je paran, rezultat je pozitivan.

-Kada je negativan a n je neparan, to rezultira negativnim brojem.

-Ako je a pozitivno a n je parno ili neparno, pozitivan cijeli broj uvijek rezultira.

-Svaki cijeli broj podignut na 0 jednak je 1: a ⁰ = 1

-Svaki broj podignut na 1 jednak je broju: a ¹ = a

Recimo na primjer da želimo pronaći (–3) ⁴, da bismo to množili (-3) četiri puta po sebi, ovako: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Drugi primjer, također s negativnim cijelim brojem je:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Proizvod sila jednake baze

Pretpostavimo dvije moći jednake baze, ako ih množimo, dobivamo drugu snagu s istom bazom, čiji je eksponent zbroj danih eksponenata:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Kvocijent jednakih osnovnih snaga

Kada dijelimo snage jednake baze, rezultat je snaga s istom bazom, čiji je eksponent oduzimanje danih eksponenata:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Evo dva primjera koji pojašnjavaju ove točke:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Primjeri

Pogledajmo jednostavne primjere za primjenu ovih pravila, imajući na umu da se u slučaju pozitivnih cijelih brojeva znak ne može koristiti:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Riješene vježbe

- Vježba 1

Mrav se kreće duž brojčane crte na slici 1. Polazeći od točke x = +3, pravi sljedeće pokrete:

- Pomiče 7 jedinica desno

-Sada vratite 5 jedinica lijevo

-Pokrenite još 3 jedinice s lijeve strane.

-On se vraća i pomiče 4 jedinice udesno.

U kojem je trenutku mrav na kraju turneje?

Riješenje

Nazovimo pomake D. Kad su s desne strane im se daje pozitivan znak, a kada s lijeve strane negativni znak. Na ovaj način, počevši od x = +3, imamo:

-Prvi D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Sekunda D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Treće D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Kad mrav završi hod, nalazi se u položaju x = +6. To jest, to je 6 jedinica desno od broja 0 u brojevnoj liniji.

- Vježba 2

Riješite sljedeću operaciju:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Riješenje

Ova operacija sadrži znakove grupiranja, koji su zagrade, uglati zagrade i zagrade. Prilikom rješavanja prvo morate voditi računa o zagradama, zatim zagradama i na kraju zagradama. Drugim riječima, morate raditi iznutra prema unutra.

U ovoj vježbi točka predstavlja množenje, ali ako nema točke između broja i zagrade ili drugog simbola, također se podrazumijeva da je proizvod.

Ispod razlučivosti, korak po korak, boje služe kao vodič za praćenje rezultata smanjenja zagradama, koji su najdublji simboli grupiranja:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Vježba 3

Riješite jednadžbu prvog stupnja:

12 + x = 30 + 3x

Riješenje

Pojmovi su grupirani s nepoznatima s lijeve strane jednakosti, a numerički pojmovi desno:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Reference

1. Carena, M. 2019. Priuveučilišni matematički priručnik. Nacionalno sveučilište Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 7. razreda. CO-BO izdanja.
3. Hoffmann, J. 2005. Izbor tema iz matematike. Monfort Publikacije.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dvorana Prentice.
5. Cijeli brojevi. Oporavilo od: Cimanet.uoc.edu.