ŠESTEROKUT: SVOJSTVA, DIJAGONALA, PERIMETAR, POVRŠINA - MATEMATIKA - 2025

Sedamnaesterokut je redovito poligon sa 17 strana i 17 vrhova. Njegova se konstrukcija može izvesti u euklidskom stilu, to jest koristeći samo ravnalo i kompas. Bio je to veliki matematički genij Carl Friedrich Gauss (1777-1855), star tek 18 godina, koji je pronašao postupak za njegovu izgradnju 1796. godine.

Navodno je Gauss uvijek bio sklon ovoj geometrijskoj figuri, do te mjere da je od dana kada je otkrio njezinu konstrukciju odlučio biti matematičar. Također se kaže da je želio da se na njegovom nadgrobnom spomeniku ugravira heptadekagon.

Slika 1. Heptadekagon je pravilan poligon sa 17 strana i 17 vrhova. Izvor: F. Zapata.

Gauss je također pronašao formulu kako bi odredio koji pravilni poligoni mogu biti izgrađeni s vladarom i kompasom, jer neki nemaju točnu euklidsku konstrukciju.

Karakteristike heptadekagona

Što se tiče njegovih karakteristika, kao i svaki poligon, važna je zbroj njegovih unutarnjih kutova. U pravilnom poligonu s n stranicama, zbroj je dat:

Ovaj zbroj, izražen u radijanima, izgleda ovako:

Iz gornjih formula se lako može zaključiti da svaki unutarnji kut heptadekagona ima točnu mjeru α danu:

Iz toga slijedi da je unutarnji kut otprilike:

Dijagonale i perimetra

Dijagonala i perimetar su drugi važni aspekti. U bilo kojem poligonu broj dijagonala je:

D = n (n - 3) / 2, a u slučaju heptadekagona, budući da je n = 17, tada imamo tu D = 119 dijagonale.

S druge strane, ako je poznata duljina svake strane heptadekagona, tada se obod pravilnog heptadekagona pronalazi jednostavno dodavanjem 17 puta te duljine ili onoga što je ekvivalentno 17 puta duljini d svake strane:

P = 17 d

Perimetra heptadekagona

Ponekad je poznat samo polumjer r heptadekagona, pa je potrebno razviti formulu za ovaj slučaj.

U tu svrhu uvodi se pojam apoteme. Apotema je segment koji ide od središta pravilnog poligona do sredine jedne strane. Apotema u odnosu na jednu stranu okomita je na tu stranu (vidi sliku 2).

Slika 2. Prikazani su dijelovi pravilnog poligona s polumjerom r i njegov apotem. (Vlastita obrada)

Nadalje, apotem je bisektor kuta sa središnjim vrhom i stranicama na dvije uzastopne vrhove poligona, što omogućava pronalaženje odnosa između polumjera r i stranice d.

Ako se središnji kut DOE naziva β i uzimajući u obzir da je apotem OJ bisektor, imamo EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), iz kojeg imamo odnos da bismo pronašli duljinu d stranice poligona poznat je njegov polumjer r i njegov središnji kut β:

d = 2 r Sen (β / 2)

U slučaju heptadekagona β = 360º / 17, imamo:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Konačno, dobiva se formula za obod heptadekagona, poznat je njegov polumjer:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Perimetar heptadekagona blizu je perimetra opsega koji ga obrezuje, ali njegova je vrijednost manja, to jest, perimetar opisanog kruga je Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

područje

Za određivanje područja heptadekagona uputit ćemo se na Sliku 2, koja prikazuje stranice i apoteme pravilnog poligona s n stranama. Na ovoj slici trokut EOD ima površinu jednaku bazi d (strana poligona) koja je veća od visine a (apotema poligona) podijeljenu s 2:

EOD površina = (dxa) / 2

Dakle, znajući apotemu a od heptadekagona i njegove strane d, njegovo područje je:

Područje heptadekagona = (17/2) (dxa)

Područje dano sa strane

Da bi se dobila formula za područje heptadekagona znajući duljinu njegovih sedamnaest strana, potrebno je dobiti odnos između duljine apotema a i stranice d.

U odnosu na sliku 2, dobiva se sljedeći trigonometrijski odnos:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, gdje je β središnji kut DOE. Stoga se apotem a može izračunati ako su poznata duljina d stranice poligona i središnji kut β:

a = (d / 2) kotan (β / 2)

Ako je ovaj izraz sada zamijenjen apotemom, u formuli za područje heptadekagona dobivenoj u prethodnom odjeljku, imamo:

Površina heptadekagona = (17/4) (d ²) Kotan (β / 2)

Budući da je β = 360º / 17 za heptadekagon, tako da konačno imamo željenu formulu:

Područje heptadekagona = (17/4) (d ²) Cotan (180º / 17)

Područje s obzirom na polumjer

U prethodnim odjeljcima pronađen je odnos između stranice d pravilnog poligona i njegovog polumjera r, pri čemu je ovaj odnos sljedeći:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ovaj izraz za d umetnut je u izraz dobijen u prethodnom odjeljku za područje. Ako se izvrše odgovarajuće zamjene i pojednostavljenja, dobiva se formula koja omogućava izračunavanje površine heptadekagona:

Područje heptadekagona = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Približan izraz za to područje je:

Površina heptadekagona = 3.0706 (r ²)

Kao što se očekivalo, ovo područje je malo manja od površine kruga obavijanje sedamnaesterokut A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ². Da budemo precizniji, to je 2% manje od onog njegovog opisanog kruga.

Primjeri

Primjer 1

Da biste odgovorili na pitanje, potrebno je zapamtiti odnos između stranice i polumjera pravilnog n-jednostranog poligona:

d = 2 r Sen (180º / n)

Za heptadekagon n = 17, tako da je d = 0,3675 r, to jest, polumjer heptadekagona je r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm ili

Promjera 10,8844 cm.

Perimetar bočnog heptadekagona od 2 cm je P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Primjer 2

Moramo se pozabaviti formulom prikazanom u prethodnom odjeljku, koja nam omogućava da nađemo područje heptadekagona kada ima duljinu d svoje strane:

Područje heptadekagona = (17/4) (d ²) / tan (180º / 17)

Zamjenom d = 2 cm u prethodnoj formuli, dobivamo:

Površina = 90,94 cm

Reference

1. CEA (2003). Elementi geometrije: s vježbama i kompasom. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Redakcija Patria.
3. Freed, K. (2007). Otkrijte poligone. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalizirani poligoni. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Matematika prvi semestar Tacaná. Iger.
6. Jr. geometrija. (2014). Poligona. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematika: obrazloženje i aplikacije (deseto izdanje). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Urednički zbornik.
9. Sada, M. 17-sided регулярni poligon s ravnalom i kompasom. Oporavilo sa: geogebra.org
10. Wikipedia. Sedamnaesterokut. Oporavak od: es.wikipedia.com