AKUTNI TROKUT: KARAKTERISTIKE I VRSTE - MATEMATIKA - 2026

Na akutni trokuta su oni čija su tri unutarnje kutove su oštre kutove; to jest, mjera svakog od tih kutova je manja od 90 ° stupnjeva. Ako nemamo nijedan pravi kut, imamo da pitagorejski teorem ne drži za ovu geometrijsku figuru.

Stoga, ako želimo imati neku vrstu informacija o bilo kojoj od njegovih strana ili uglova, potrebno je koristiti druge teoreme koje nam omogućuju pristup navedenim podacima. Možemo ih upotrijebiti sinus i teorem kosinusa.

karakteristike

Među karakteristikama koje ovaj geometrijski lik ima izdvojimo one koje su date jednostavnom činjenicom da je trokut. Među njima imamo:

- Trokut je poligon koji ima tri strane i tri kuta.

- Zbroj njegovih triju unutarnjih kutova jednak je 180 °.

- Zbroj dviju strana uvijek je veći od trećeg.

Kao primjer pogledajmo slijedeći trokut ABC. Općenito, njegove strane poistovećujemo s malim slovom, a kutovi velikim slovom, na način da jedna strana i njegov suprotni kut imaju isto slovo.

Iz već danih karakteristika znamo da:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b i b + c> a

Glavna značajka koja razlikuje ovu vrstu trokuta od ostatka je ta što su, kako smo već spomenuli, unutarnji kutovi akutni; to jest, mjera svakog njegovog kuta je manja od 90 °.

Akutni trokuti, zajedno s nejasnim trokutima (oni u kojima jedan od njihovih kutova ima mjeru veću od 90 °), dio su skupa ukošenih trokuta. Taj se skup sastoji od trokuta koji nisu pravi kut.

Kako su kosi trokuti dio, moramo biti u stanju riješiti probleme koji uključuju akutne trokut, moramo upotrijebiti sinus teoreme i kosine teoreme.

Teorem sinusa

Teorem sinusa govori nam da je omjer jedne strane i sinusa njegovog suprotnog kuta jednak dvostrukom polumjeru kruga formiranom s tri vrhova navedenog trokuta. To znači:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kozin teorem

S druge strane, teorema kosinusa daje nam ove tri jednake vrijednosti za bilo koji trokut ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Ti su teoremi poznati i kao zakon sinusa i zakon kosinusa.

Još jedna karakteristika koju možemo dati akutnim trokutima je da su ta dva jednaka ako udovoljavaju bilo kojem od sljedećih kriterija:

- Ako imaju iste tri strane.

- Ako imaju jednu i drugu jednaku kutu.

- Ako imaju dvije jednake strane i kut.

vrste

Akutni trokuti se mogu klasificirati prema njihovim stranama. To mogu biti:

Jednakostrani akutni trokut

To su akutni trokuti koji su im sve strane jednaki i, prema tome, svi njihovi unutarnji kutovi imaju istu vrijednost, a to je A = B = C = 60 ° stupnjeva.

Kao primjer uzmimo sljedeći trokut, čije stranice a, b i c imaju vrijednost 4.

Izoscele akutni trokut

Ti trokutati, osim što imaju akutne unutarnje kutove, imaju svojstvo da imaju dvije jednake strane, a treću, koja se općenito uzima kao bazu, razlikuju.

Primjer ove vrste trokuta može biti onaj čija je baza 3, a ostale dvije njegove strane imaju vrijednost 5. S tim mjerenjima imala bi suprotne kutove na jednake strane s vrijednošću od 72,55 ° i suprotnim kutom od baza bi bila 34,9 °.

Scalene akutni trokut

To su trokuti koji svi imaju različite strane dva po dva. Stoga se svi njegovi kutovi, osim što su manji od 90 °, razlikuju od dva do dva.

Trokut DEF (čije su mjere d = 4, e = 5 i f = 6, a njegovi kutovi D = 41,41 °, E = 55,79 ° i F = 82,8 °) dobar je primjer akutnog trokuta trokut.

Rezolucija akutnih trokuta

Kao što smo već rekli, za rješavanje problema koji uključuju akutne trokut potrebno je koristiti teoreme sinusa i kosinusa.

Primjer 1

Dajući trokut ABC s kutovima A = 30 °, B = 70 ° i stranom a = 5cm, želimo znati vrijednost kuta C i stranica b i c.

Prvo što koristimo je činjenica da je zbroj unutarnjih kutova trokuta 180 °, da bismo dobili vrijednost kuta C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Čistimo C i imamo:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Budući da već poznajemo tri kuta i jednu stranu, pomoću teoreme sinusa možemo odrediti vrijednost preostalih strana. Prema teoremu imamo:

a / sin (A) = b / sin (B) i a / sin (A) = c / (sin (C)

Izoliramo b iz jednadžbe i ostaje nam:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Sada nam preostaje samo izračunati vrijednost c. Postupamo na isti način kao u prethodnom slučaju:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

Tako dobivamo sve podatke trokuta. Kao što vidimo, ovaj trokut spada u kategoriju skale akutnog trokuta.

Primjer 2

S obzirom na trokut DEF sa stranicama d = 4cm, e = 5cm i f = 6cm, želimo znati vrijednost kutova navedenog trokuta.

U ovom ćemo slučaju koristiti kosinus zakon, koji nam govori da:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Iz ove jednadžbe možemo riješiti za cos (D), što nam daje:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Dakle imamo D≈ 41,41 °

Koristeći sada teoremu sena imamo sljedeću jednadžbu:

d / (grijeh (D) = e / (grijeh (E)

Rješavajući za grijeh (E), imamo:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Stoga imamo E≈55,79 °

Na kraju, koristeći da je zbroj unutarnjih kutova trokuta 180 °, imamo F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija (Reprint ed.). Napredak.
2. Leake, D. (2006). Trokut (ilustrirano izd.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel (2003). Ravna metrička geometrija. CODEPRE
4. Ruiz, Á., I Barrantes, H. (2006). Geometrije. CR tehnologija.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija i analitička geometrija. Pearson Education.