TESSELACIJE: KARAKTERISTIKA, VRSTE (PRAVILNE, NEPRAVILNE), PRIMJERI - MATEMATIKA - 2026

Su popločavanja su presvučene površine jednog ili više slike nazivaju tesere. Oni su posvuda: na ulicama i zgradama svih vrsta. Pločice ili pločice su ravni komadi, obično poligoni s kongruentnim ili izometrijskim kopijama, koji se postavljaju po pravilnom obrascu. Na ovaj način ne ostaju prostori nepokriveni i pločice ili mozaici se ne preklapaju.

U slučaju da se koristi jedna vrsta mozaika formiranog pravilnim mnogokutnikom, tada postoji redovna tessellacija, ali ako se koriste dvije ili više vrsta pravilnih poligona, onda je to polu-pravilna tessellacija.

Slika 1. Pločica s pločicama s nepravilnom tessellacijom, jer su pravokutnici nepravilni mnogokutnici, iako su kvadrati. Izvor: Pixabay.

I na kraju, kad poligoni koje tvori tesselacija nisu pravilni, tada je to nepravilna tessellacija.

Najčešća vrsta tessellacije je ona formirana pravokutnim i osobito kvadratnim mozaicima. Na slici 1 imamo dobar primjer.

Povijest tesselacije

Tesselacija se koristi tisućama godina za oblaganje poda i zidova palača i hramova različitih kultura i religija.

Na primjer, sumerska civilizacija koja je procvjetala oko 3500. godine prije Krista južno od Mezopotamije, između rijeka Eufrata i Tigrisa, koristila je tessellaciju u svojoj arhitekturi.

Slika 2. Sumerske tesselacije na Istarskim vratima. Izvor: Wikimedia Commons.

Tesselacije su također potaknule zanimanje matematičara svih starosnih doba: počevši od Arhimeda u 3. stoljeću prije Krista, a slijedili su ga Johannes Kepler 1619., Camille Jordan 1880., pa sve do suvremenog vremena s Rogerom Penroseom.

Penrose je stvorio neperiodičnu tessellaciju koja je poznata i kao Penroserova tesilica. Ovo je samo nekoliko imena znanstvenika koji su puno doprinijeli teshelaciji.

Redovite tesselacije

Redovite tesselacije izrađuju se samo s jednom vrstom pravilnog poligona. S druge strane, da bi se tessellacija smatrala redovitom, svaka točka ravnine mora:

-Uz unutrašnjost poligona

-Od ruba dva susjedna poligona

-Naposljetku može pripadati zajedničkoj vrhovi najmanje tri poligona.

Uz gornja ograničenja može se pokazati da samo jednakostranični trokut, kvadrat i šesterokut mogu tvoriti redovitu tessellaciju.

Nomenklatura

Postoji nomenklatura koja označava tesselacije koja se sastoji od popisa u smjeru kazaljke na satu i odvojene točkom, broja strana poligona koji okružuju svaki čvor (ili vrha) tessellacije, uvijek započinjući s poligonom s najmanjim brojem strane.

Ova se nomenklatura primjenjuje na redovite i poluredne teskele.

Primjer 1: Trokutasta testilacija

Na slici 3 prikazana je pravilna trokutasta tesalizacija. Treba napomenuti da je svaki čvor trokutaste teskele zajednička vrhova šest jednakostraničnih trokuta.

Način označavanja ove vrste tessellacije je 3.3.3.3.3.3, što se također označava s 3 ⁶.

Slika 3. Redovita trokutasta tesalizacija 3.3.3.3.3.3. Izvor: wikimedia commons

Primjer 2: Kvadratna testeralizacija

Na slici 4. prikazana je redovna tessellacija sastavljena samo od kvadrata. Treba napomenuti da je svaki čvor u tesselliji okružen s četiri kongruentna kvadrata. Oznaka koja se primjenjuje na ovu vrstu kvadratne tessellacije je: 4.4.4.4 ili alternativno 4 ⁴

Slika 4. Kvadratna testeralizacija 4.4.4.4. Izvor: wikimedia commons.

Primjer 3: Šesterokutna testilacija

U šesterokutnoj tesalizaciji svaki čvor okružen je s tri pravilna šesterokutnika kao što je prikazano na slici 5. Nomenklatura za redovitu šesterokutnu tessellaciju iznosi 6.6.6 ili alternativno 6 ³.

Slika 5. Šesterokutna tesfera 6.6.6. Izvor: wikimedia commons.

Polusredne teskele

Polu-pravilne ili arhimedovske tesselacije sastoje se od dvije ili više vrsta pravilnih poligona. Svaki je čvor okružen vrstama mnogokutnika koji čine tessellaciju, uvijek istim redoslijedom, a rubni se uvjet potpuno dijeli sa susjedom.

Postoji osam polu regularnih teshela:

1. 3.6.3.6 (trostruka šesterokutna testilacija)
2. 3.3.3.3.6 (tupa šesterokutna testilacija)
3. 3.3.3.4.4 (izdužena trokutasta tesilica)
4. 3.3.4.3.4 (tupa kvadratna testilacija)
5. 3.4.6.4 (rombi-tri-šesterokutna testilacija)
6. 4.8.8 (skraćena kvadratna tesilica)
7. 3.12.12 (skraćena šesterokutna testila)
8. 4.6.12 (skraćena tro-šesterokutna testilacija)

Neki su primjeri polupravnih teshala prikazani dolje.

Primjer 4: Tri-šesterokutna testilacija

Ona je sastavljena od jednakostraničnih trokuta i pravilnih šesterokutnika u strukturi 3.6.3.6, što znači da je čvor tessellacije okružen (do završetka jednog zavoja) trokutom, šesterokutom, trokutom i šesterokutom. Na slici 6. prikazana je takva testeralizacija.

Slika 6. Tri-šesterokutna testilacija (3.6.3.6.) Primjer je poluspravne tessellacije. Izvor: Wikimedia Commons.

Primjer 5: Tupa šesterokutna testilacija

Kao i tessellation u prethodnom primjeru, i ovaj se sastoji od trokuta i šesterokuta, ali njihova je distribucija oko čvora 3.3.3.3.6. Slika 7 jasno prikazuje ovu vrstu tessellacije.

Slika 7. Tupa šesterokutna tesalizacija sastoji se od šesterokuta okruženog sa 16 trokuta u konfiguraciji 3.3.3.3.6. Izvor: Wikimedia Commons.

Primjer 6: rombi-tri-šesterokutna testilacija

To je tessellacija koja se sastoji od trokuta, kvadrata i šesterokuta, u konfiguraciji 3.4.6.4, koja je prikazana na slici 8.

Slika 8. Polus pravilna tessellacija sastavljena od trokuta, kvadrata i šesterokuta u konfiguraciji 3.4.6.4. Izvor: Wikimedia Commons.

Nepravilne tesselacije

Nepravilne tessellacije su one koje nastaju nepravilnim mnogokutima ili pravilnim mnogokutima, ali ne ispunjavaju kriterij da čvor predstavlja vrhove od najmanje tri poligona.

Primjer 7

Na slici 9 prikazan je primjer nepravilne teshelacije u kojoj su svi poligoni pravilni i kongruentni. Nepravilan je jer čvor nije uobičajena točka od najmanje tri kvadrata, a postoje i susjedni kvadrati koji ne dijele potpuno rub.

Slika 9. Iako su sve pločice jednake kvadratima, ovo je jasan primjer nepravilne teshele. Izvor: F. Zapata.

Primjer 8

Paralelogram pločice ravnu površinu, ali ako nije kvadrat, ne može tvoriti redovitu tespiralu.

Slika 10. Tessellacija formirana paralelogramima je nepravilna, jer su mozaici nepravilnih poligona. Izvor: F. Zapata.

Primjer 9

Neskladni šesterokut s središnjom simetrijom razdvaja ravnu površinu, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Slika 11. Šesterokutnici sa središnjom simetrijom, čak i kada nisu pravilni tessellat ravnine. Izvor: F. Zapata.

Primjer 10: tessellacija Kaira

Vrlo je zanimljiva tessella, sastavljena od pentagona sa stranicama jednake duljine, ali s nejednakim kutovima, od kojih su dva ravna, a ostala tri po 120 °.

Ime je dobilo od činjenice da se ova tessellacija nalazi na kolniku neke od ulica Kaira u Egiptu. Na slici 12. prikazana je tesiralizacija Kaira.

Slika 12. Kairo Tessellation. Izvor: Wikimedia Commons.

Primjer 11: Al-Andalus testilacija

Tessellaciju u nekim dijelovima Andaluzije i Sjeverne Afrike karakteriziraju geometrija i epigrafija, pored ukrasnih elemenata poput vegetacije.

Tesselacija palača poput Alhambre bila je sastavljena od pločica sastavljenih od keramičkih komada mnogo boja, s višestrukim (ako ne i beskonačnim) oblicima koji su se odvili u geometrijske uzorke.

Slika 13. Tesselacija palače Alhambra. Tartaglia / Javna domena

Primjer 12: tessellation u video igrama

Poznat i kao tesellation, jedan je od najpopularnijih noviteta u video igrama. Riječ je o stvaranju tekstura koje će simulirati tesselaciju različitih scenarija koji se pojavljuju u simulatoru.

Ovo je jasan odraz da se ovi premazi i dalje razvijaju, prelazeći granice stvarnosti.

Reference

1. Uživajte u matematici. Tessellations. Oporavilo od: uživanjetematicas.com
2. Rubinos. Primjeri su riješili tesselacije. Oporavak od: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregularna tessellation." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Popločenja. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Redovita tessellacija. Oporavak od: es.wikipedia.com