VARIGNONOV TEOREM: PRIMJERI I RIJEŠENE VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Teorem Varignon navodi da ako bilo četverostrana neprekidno povezani polovišta strane, paralelogram je generiran. Ovaj je teorem formulirao Pierre Varignon i objavio je 1731. godine u knjizi Elementi matematike.

Objavljivanje knjige dogodilo se godinama nakon njegove smrti. Budući da je Varignon uveo ovaj teorem, paralelogram je nazvan po njemu. Teorem se temelji na euklidskoj geometriji i prikazuje geometrijske odnose četverostrana.

Što je Varignonov teorem?

Varignon je izjavio da će brojka koja je definirana srednjim točkama četverostrana uvijek rezultirati paralelogramom, a površina paralelograma uvijek će biti polovica površine četverostrana ako je ravna i konveksna. Na primjer:

Na slici možete vidjeti četverostrani s površinom X, gdje su srednje točke strana predstavljene s E, F, G i H i, kada su spojene, čine paralelogram. Područje četverokuta bit će zbroj površina trokuta koji su formirani, a polovica toga odgovara površini paralelograma.

Budući da je površina paralelograma polovica površine četverokuta, može se odrediti perimetar tog paralelograma.

Dakle, perimetar je jednak zbroju duljina dijagonala četverokuta; to je zbog toga što će mediji medija četverokuta biti dijagonale paralelograma.

S druge strane, ako su duljine dijagonala četverokuta potpuno jednake, paralelogram će biti romb. Na primjer:

Iz slike se vidi da se spajanjem srednjih strana strana četverokuta dobiva romb. S druge strane, ako su dijagonale četverokuta okomite, paralelogram će biti pravokutnik.

Isto tako, paralelogram će biti kvadrat kada četverostrani imaju dijagonale jednake duljine, a također su okomite.

Teorema se ne ispunjava samo u ravninskim četverostranama, već se provodi i u prostornoj geometriji ili u velikim dimenzijama; to jest u onim četverokutima koji nisu konveksni. Primjer za to može biti oktaedar, gdje su središta točke centroida svakog lica i tvore paralelepiped.

Na taj se način spajanjem središta različitih figura mogu dobiti paralelogrami. Je li to stvarno istina da suprotne strane moraju biti paralelne kada su produžene.

Primjeri

Prvi primjer

Proširenje suprotnih strana kako bi se pokazalo da je paralelogram:

Drugi primjer

Spajanjem srednjih točaka romba, dobiva se pravokutnik:

Teorem se koristi u sjedinjenju točaka smještenih na sredini strana četverokuta, a može se koristiti i za druge vrste točaka, poput trisekcije, penta-presjeka ili čak beskonačnog broja presjeka (nth), kako bi se strane bilo kojeg četverokuta podijelile u proporcijske.

Riješene vježbe

Vježba 1

Na slici imamo četverostrani ABCD područja Z, gdje su sredine ove stranice PQSR. Provjerite je li formiran Varignonov paralelogram.

Riješenje

Može se vidjeti da se spajanjem PQSR točaka formira Varignonov paralelogram, upravo zato što su u iskazu date sredine središta četverokuta.

Da se to pokaže, najprije se pridružuju srednji točki PQSR, pa se može vidjeti da je formiran još jedan četverokut. Da biste pokazali da je paralelogram, morate samo povući ravnu liniju od točke C do točke A, pa se vidi da je CA paralelna s PQ i RS.

Na isti način, kad produžite strane PQRS, vidi se da su PQ i RS paralelni, kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Vježba 2

Imamo pravokutnik takav da su duljine svih njegovih strana jednake. Spajanjem srednjih točaka ovih strana formira se romb ABCD, koji je podijeljen s dvije dijagonale AC = 7cm i BD = 10cm, koje se podudaraju s mjerenjima strana pravokutnika. Odredite područja romba i pravokutnika.

Riješenje

Sjećajući se da je područje rezultirajućeg paralelograma polovica četverokuta, njihovo se područje može odrediti znajući da se mjera dijagonala podudara sa stranicama pravokutnika. Dakle, morate:

AB = D

CD = d

_Pravokutnik = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70cm ²

_Romb = A _pravokutnik / 2

_Romb = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Vježba 3

Na slici je četverokuta koji ima spoj točaka EFGH, dano je duljina segmenata. Utvrdite je li unija EFGH paralelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Riješenje

Kako su date duljine segmenata, može se provjeriti postoji li proporcionalnost između segmenata; to jest, možete znati jesu li paralelni, koji se odnose na segmente četverokuta kao što slijedi:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Tada se provjerava proporcionalnost jer:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Slično tome, pri crtanju crte od točke B do točke D, može se vidjeti da je EH paralelan s BD, baš kao što je BD paralelan s FG. S druge strane, EF je paralelan s GH.

Tako se može utvrditi da je EFGH paralelogram, jer su suprotne strane paralelne.

Reference

1. Andres, T. (2010). Tresura matematičke olimpijade. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Ravna euklidska geometrija. SGS. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studij geometrije. Meksiko: latinoamerički.
4. Ramo, GP (1998). Nepoznata rješenja problema Fermat-Torricelli. ISBN - Samostalni rad.
5. Vera, F. (1943). Elementi geometrije. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Neke avanture u euklidskoj geometriji. Južna Afrika.