SIMPSONOVO PRAVILO: FORMULA, DOKAZ, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Simpson je pravilo je metoda za izračunavanje, otprilike, definitivno integral. Temelji se na podjeli intervala integracije na paran broj podjednakih intervala.

Ekstremne vrijednosti dvaju uzastopnih pod-intervala definiraju tri točke pod kojima se uklapa parabola čija je jednadžba polinom drugog stupnja.

Slika 1. U Simpsonovoj metodi interval integracije dijeli se na parni broj intervala jednake širine. Funkcija se aproksimira parabolom u svaka 2 pod-intervala, a integral se aproksimira zbrojem područja ispod parabole. Izvor: upv.es.

Tada se područje ispod krivulje funkcije u dva uzastopna intervala aproksimira površinom interpolacijskog polinoma. Dodavanje doprinosa području ispod parabole svih uzastopnih pod-intervala, imamo približnu vrijednost integral.

S druge strane, budući da se integral parabole može algebrično izračunati tačno, tada je moguće pronaći analitičku formulu za približnu vrijednost određenog integrala. Poznata je kao Simpsonova formula.

Pogreška tako dobivenog približnog rezultata opada kako je broj pododjela n veći (gdje je n paran broj).

Dolje će biti dat izraz koji omogućava procjenu gornje granice pogreške aproksimacije na integral I kada je izvršena podjela n redovitih podinvertila ukupnog intervala.

Formula

Interval integracije dijeli se na n podinvervala, pri čemu je n paran broj. Širina svakog odjeljenja bit će:

h = (b - a) / n

Na taj se način particija izrađuje u intervalu:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Gdje je X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formula koja omogućava približavanje definitivnog integralnog dijela kontinuirane, a po mogućnosti glatke, funkcije u intervalu je:

Demonstracija

Da bi se dobila Simpsonova formula, u svakom se podinvalitu funkcija f (X) aproksimira polinomom drugog stupnja p (X) (parabola) koji prolazi kroz tri točke:; i.

Tada se izračunava integral polinoma p (x) u kojem se aproksimira integral funkcije f (X) u tom intervalu.

Slika 2. Grafikon koji demonstrira Simpsonovu formulu. Izvor: F. Zapata.

Koeficijenti interpolacijskog polinoma

Jednadžba parabole p (X) ima opći oblik: p (X) = AX ² + BX + C. Dok parabola prolazi kroz točke Q označene crvenom bojom (vidi sliku), tada su koeficijenti A, B, C se određuju iz sljedećeg sustava jednadžbi:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Može se vidjeti da je određen koeficijent C. Za određivanje koeficijenta A zbrajamo prvu i treću jednadžbu dobivajući:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Tada se vrijednost C supstituira i A se briše, ostavljajući:

A = / (2 h ²)

Za određivanje koeficijenta B treća jednadžba se oduzima od prve i B rješava dobivajući:

B = = 2 h.

Ukratko, polinom drugog stupnja p (X) koji prolazi kroz točke Qi, Qi + 1 i Qi + 2 ima koeficijente:

A = / (2 h ²)

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Izračunavanje približnog integrala u

Približni izračun integrala u

Kao što je već rečeno, particija {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} izrađuje se na ukupnom intervalu integriranja s korakom h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, pri čemu n je parni broj.

Pogreška približavanja

Imajte na umu da se pogreška smanjuje s četvrtom snagom broja pododjela u intervalu. Na primjer, ako pređete iz n pododjela na 2n, onda se pogreška smanjuje za faktor 1/16.

Gornja granica pogreške dobivene Simpsonovom aproksimacijom može se dobiti iz iste formule, zamjenjujući četvrti derivat najvećom apsolutnom vrijednošću četvrtog derivata u intervalu.

Obrađeni primjeri

- Primjer 1

Razmotrimo funkciju f (X) = 1 / (1 + X ²).

Pronađite definitivni integral funkcije f (X) na intervalu pomoću Simpsonove metode s dva pododjela (n = 2).

Riješenje

Uzimamo n = 2. Granice integracije su a = -1 i b = -2, pa particija izgleda ovako:

X0 = -1; X1 = 0 i X2 = +1.

Stoga, Simpsonova formula ima sljedeći oblik:

Slika 3. Primjer numeričke integracije po Simpsonovom pravilu koristeći softver. Izvor: F. Zapata.

Reference

1. Casteleiro, JM 2002. Sveobuhvatni račun (ilustrirano izdanje). Madrid: Uredništvo ESIC-a.
2. UPV. Simpsonova metoda. Veleučilište u Valenciji. Oporavilo od: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Deveto izdanje. Dvorana Prentice.
4. Wikipedia. Simpsonovo pravilo. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrangeova polinomna interpolacija. Oporavak od: es.wikipedia.com