- jednadžbe
- Jednadžba pravca u ravnini
- Primjeri kosih linija
- Zraci svjetlosti
- Linije koje nisu u istoj ravnini
- Reference
Su kose linije su one koje su nagnute, ili u odnosu na ravnu površinu ili drugu liniju ukazuje na određenu adresu. Kao primjer, uzmite u obzir tri crte crtane u ravnini koje su prikazane na sljedećoj slici.
Znamo njihove relativne položaje jer ih uspoređujemo s referentnom linijom, a to je obično osi x koja označava vodoravnu.
Slika 1. Okomite, vodoravne i nagnute crte u istoj ravnini. Izvor: F. Zapata.
Na taj način, odabirom horizontalne kao referentne, linija s lijeve strane je okomita, ona u sredini je vodoravna, a desna je kosa, budući da je nagnuta u odnosu na dnevne referentne crte.
Sada linije koje se nalaze u istoj ravnini, poput površine papira ili ekrana, zauzimaju različite položaje jedan prema drugom, ovisno o tome da li se presijecaju ili ne. U prvom su slučaju sekantne linije, dok su u drugom paralelne.
S druge strane, sekantne linije mogu biti poševne ili okomite. U oba slučaja nagibi linija su različiti, ali kosi vodovi međusobno čine kutove α i β, različite od 90 °, dok su kutovi određeni okomitim linijama uvijek 90 °.
Sljedeća slika sažima ove definicije:
Slika 2. Relativni se položaji između linija: paralelni, kosi i okomiti razlikuju u kutu koji čine jedan s drugim. Izvor: F. Zapata.
jednadžbe
Da bi se znali relativni položaji linija u ravnini, potrebno je znati kut između njih. Imajte na umu da su crte:
Paralelno: ako imaju isti nagib (isti smjer) i nikad se ne presijecaju, stoga su njihove točke jednake udaljenosti.
Koincidenti: kada se sve točke podudaraju i stoga imaju isti nagib, ali udaljenost između njegovih točaka je nula.
Sušilice: ako su njihovi nagibi različiti, udaljenost između njihovih točaka varira, a sjecište je jedna točka.
Dakle, jedan od načina da se zna jesu li dvije linije u ravnini sekundarne ili paralelne kroz njihov nagib. Kriteriji za paralelizam i okomitost linija su sljedeći:
Ako, poznavajući nagibe dviju linija u ravnini, nijedan od gornjih kriterija nije zadovoljen, zaključujemo da su pravci kosi. Znajući dvije točke na liniji, nagib se izračunava odmah, kao što ćemo vidjeti u sljedećem odjeljku.
Možete saznati jesu li dva pravca sekantna ili paralelna pronalazeći njihovo sjecište, rješavajući sustav jednadžbi koje oni formiraju: ako postoji rješenje, oni su sekantni, ako nema rješenja, paralelni su, ali ako su rješenja beskonačna, linije se podudaraju.
Međutim, ovaj kriterij ne informira nas o kutu između tih linija, čak i ako se presijecaju.
Da bismo znali kut između linija, potrebna su nam dva vektora u i v koji pripadaju svakom od njih. Na taj je način moguće znati kut koji stvaraju pomoću skalarnog produkta vektora, definiranog na ovaj način:
u • v = uvcos α
Jednadžba pravca u ravnini
Crta u kartezijanskoj ravnini može biti prikazana na više načina, kao što su:
- Oblik presretanja nagiba: ako je m nagib pravca i b je sjecište pravca s okomitom osi, jednadžba je linije y = mx + b.
- Opća jednadžba pravca: Ax + By + C = 0, gdje je m = A / B nagib.
U kartezijanskoj ravnini vertikalne i vodoravne crte su pojedinačni slučajevi jednadžbe crte.
- Okomite crte: x = a
- vodoravne linije: y = k
Slika 3. S lijeve strane okomita crta x = 4, a vodoravna y = 6. S desne strane je primjer koso crte. Izvor: F. Zapata.
U primjerima na slici 3, okomita crvena crta ima jednadžbu x = 4, dok linija paralelna s osi x (plava) ima jednadžbu y = 6. Što se tiče linije s desne strane, vidimo da je ona koso a da bismo pronašli njegovu jednadžbu koristimo točke označene na slici: (0,2) i (4,0) na ovaj način:
Rez ove linije s okomitom osi je y = 2, kao što se može vidjeti iz grafikona. Uz ove podatke:
Određivanje kuta nagiba s obzirom na os x je lako. Osjećam to:
Stoga je pozitivni kut od osi x prema liniji: 180º - 26.6º = 153.4º
Primjeri kosih linija
Slika 4. Primjeri kosih linija. Izvor: mačevalac Ian Patterson. Pisa je nagnut toranj. Pixabay.
Oblične linije pojavljuju se na mnogim mjestima, važno je obratiti pažnju na njih u arhitekturi, sportu, električnom ožičenju, cijevima i na mnogim drugim mjestima. U prirodi su prisutne i nagnute crte, kao što ćemo vidjeti u nastavku:
Zraci svjetlosti
Sunčeva svjetlost putuje u pravoj liniji, ali okrugli oblik Zemlje utječe na to kako sunčeva svjetlost udara o površinu.
Na slici ispod možemo jasno vidjeti kako sunčeve zrake udaraju okomito u tropske krajeve, ali umjesto toga koso dosežu površinu u umjerenim krajevima i na polovima.
Zbog toga sunčeve zrake putuju na veće udaljenosti kroz atmosferu i toplina se širi i na veću površinu (vidi sliku). Rezultat toga je da su područja u blizini stupova hladnija.
Slika 5. Sunčeve zrake padaju koso u umjerenim zonama i na polovima, umjesto toga više ili manje su okomite u tropima. Izvor: Wikimedia Commons.
Linije koje nisu u istoj ravnini
Kad dvije linije nisu u istoj ravnini, još uvijek mogu biti ukošene ili uvijene, kao što su poznate. U ovom slučaju njihovi direktorijski vektori nisu paralelni, ali budući da ne pripadaju istoj ravnini, te se linije ne presijecaju.
Primjerice, crte na slici 6 desno jasno su u različitim ravninama. Ako ih pogledate odozgo, možete vidjeti da se presijecaju, ali nemaju zajedničku točku. S desne strane vidimo kotače bicikla, čiji se žbice kao da se ukrštaju kad se gledaju s prednje strane.
Slika 6. Obline linije koje pripadaju različitim ravninama. Izvor: lijevo F. Zapata, desno Pixabay.
Reference
- Geometrija. Direktorski vektor crte. Oporavak od: juanbragado.es.
- Larson, R. 2006. Izračun s analitičkom geometrijom. 8.. Izdanje. McGraw Hill.
- Matematika je igra. Linije i uglovi. Oporavak od: juntadeandalucia.es.
- Ravne linije koje se presijecaju. Oporavak od: profesoraltuna.com.
- Villena, M. Analitička geometrija u R3. Oporavak od: dspace.espol.edu.ec.