ISTAKNUTI PROIZVODI: RIJEŠENO OBJAŠNJENJE I VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U izvanredne proizvodi su algebarske operacije, u kojoj su izraženi multipliciranju polinoma, koji ne moraju biti riješen tradicionalno, ali uz pomoć određenih pravila rezultati isti se može naći.

Polinomi se množe sa da, pa je moguće da imaju veliki broj pojmova i varijabli. Kako bi se proces skratio, koriste se uočljiva pravila o proizvodima koja omogućavaju umnožavanje bez potrebe za pojavom pojma.

Uočljivi proizvodi i primjeri

Svaki zapaženi proizvod je formula koja je rezultat faktorizacije, sastavljene od polinoma iz nekoliko pojmova, kao što su binomi ili trinomi, nazvanih faktori.

Čimbenici su osnova moći i imaju eksponent. Kad se faktori umnože, moraju se dodati eksponenti.

Postoji nekoliko izvanrednih formula proizvoda, neke se više koriste od drugih, ovisno o polinomima, a to su sljedeće:

Binomski kvadrat

To je množenje binoma po sebi, izraženo kao snaga, pri čemu se izrazi zbrajaju ili oduzimaju:

do. Binom zbroja kvadrata: jednak je kvadratu prvog pojma, plus dvostrukom proizvodu pojmova, plus kvadraturi drugog pojma. Izražava se na sljedeći način:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

Na sljedećoj slici možete vidjeti kako se proizvod razvija prema gore navedenom pravilu. Rezultat se naziva trinomija savršenog kvadrata.

Primjer 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Primjer 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ².

b. Binomi oduzeta u kvadratu: vrijedi isto pravilo binoma zbroja, samo što je u ovom slučaju drugi izraz negativan. Njegova formula je sljedeća:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ².

Primjer 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36.

Proizvod konjugiranih binoma

Dva binomija su konjugirana kada drugi pojmovi svakog od njih imaju različite znakove, odnosno prvi je pozitivan, a drugi negativan ili obrnuto. Rješava se odvajanjem svakog monomija i oduzimanjem. Njegova formula je sljedeća:

(a + b) _* (a - b)

Na sljedećoj slici razvijen je produkt dvaju konjugiranih binoma, gdje je uočeno da je rezultat razlika kvadrata.

Primjer 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ².

Proizvod dva binoma s zajedničkim izrazom

To je jedan od najsloženijih i rijetko korištenih zapaženih proizvoda, jer je to množenje dvaju binoma koji imaju zajednički pojam. Pravilo kaže sljedeće:

• Kvadrat zajedničkog pojma.
• Zbrojite pojmove koji nisu uobičajeni, a zatim ih množite zajedničkim izrazom.
• Plus zbroj množenja izraza koji nisu uobičajeni.

Predstavljen je u formuli: (x + a) _* (x + b) i razvija se kao što je prikazano na slici. Rezultat je nesavršeni kvadratni trinom.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Postoji mogućnost da je drugi izraz (različit pojam) negativan i da je njegova formula sljedeća: (x + a) _* (x - b).

Primjer 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

Također se može dogoditi da su oba različita izraza negativna. Njegova će formula biti: (x - a) _* (x - b).

Primjer 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Polinom kvadrata

U ovom slučaju postoje više od dva pojma i svaki ih treba razviti u kvadrat i zbrojiti dvostruko množenjem jednog pojma s drugim; njegova formula je: (a + b + c) ^2, a rezultat operacije je trinomija s kvadratom.

Primjer 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3 x + 2y + R4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16Z ² + + 12xy 24xz + 16yz.

Binomna kocka

Izuzetno je složen proizvod. Da bismo ga razvili, binom se množi s njegovim kvadratom, kako slijedi:

do. Za binomne kocke zbroja:

• Kocka prvog pojma, plus utrostručena kvadrata prvog pojma, manja od drugog.
• Plus trostruko u prvom terminu, puta u drugom kvadratu.
• Plus kocka drugog mandata.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ²)

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³.

Primjer 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ + 9 a ² + 27a + 27.

b. Za binomne kocke oduzimanja:

• Kocka prvog pojma, minus tri puta veća od kvadrata prvog pojma, puta drugog.
• Plus trostruko u prvom terminu, puta u drugom kvadratu.
• Minus kocke drugog pojma.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ²)

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³.

Primjer 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125.

Kocka trinoma

Razvija se množenjem na njegov kvadrat. Riječ je o vrlo opsežnom izvanrednom proizvodu jer imate 3 pojma u kockicama, plus tri puta svaki kvadrat pomnožen, pomnožen sa svakim izrazom, plus šest puta proizvod triju izraza. Gledano na bolji način:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3bc ² + 6abc.

Primjer 1

Riješene vježbe značajnih proizvoda

Vježba 1

Proširite sljedeće binomne kocke: (4x - 6) ³.

Riješenje

Prisjećajući se da je binomni kock jednak prvom pojmu kockice, minus tri puta veći od kvadrata prvog pojma, puta drugog; plus trostruko prvo crtanje, od puta drugog kvadrata, umanjeno za kocku drugog pojma.

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ²) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36.

Vježba 2

Razvijte sljedeći binom: (x + 3) (x + 8).

Riješenje

Postoji binom, gdje postoji zajednički izraz, a to je x, a drugi pojam je pozitivan. Da biste ga razvili, morate samo uvrstiti zajednički izraz, plus zbroj izraza koji nisu uobičajeni (3 i 8), a zatim ih množiti zajedničkim izrazom, plus zbroj množenja pojmova koji nisu uobičajeni.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24.

Reference

1. Angel, AR (2007). Elementarna algebra. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trigonometrija s analitičkom geometrijom. Pearson Education.
3. Das, S. (drugi). Maths Plus 8. Ujedinjeno Kraljevstvo: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementarna i srednja algebra: kombinirani pristup. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.