DODATNI KUTOVI: ŠTO SU ONI, PRORAČUN, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Dva ili više su dopunski kutovi ako zbroj njihovih mjera odgovara mjerilu ravnog kuta. Mjera ravnog kuta, koji se naziva i ravni kut, u stupnjevima je 180 °, a u radijanima je π.

Na primjer, nalazimo da su tri unutarnja kuta trokuta dopunska jer je zbroj njihovih mjera 180º. Tri kuta prikazana su na slici 1. Iz navedenog proizlazi da su α i β dopunski, budući da su susjedni i njihov zbroj upotpunjava ravan kut.

Slika 1: α i β su dopunski. α i γ su dopunski. Izvor: F. Zapata.

Također na istoj slici imamo kutove α i γ koji su također dopunski, jer je zbroj njihovih mjera jednak mjeri ravnine kuta, to jest 180º. Ne može se reći da su kutovi β i γ dopunski jer su oba kuta obručna, a mjere su veće od 90º i stoga njihov zbroj prelazi 180º.

Izvor: lifeder.com

Umjesto toga, može se reći da je mjera kuta β jednaka mjeri ugla γ, jer ako je β dopunski α, a γ dopunski α, tada je β = γ = 135º.

Primjeri

U slijedećim primjerima traži se pronalazak nepoznatih kutova, označenih upitnicima na slici 2. Oni kreću u rasponu od najjednostavnijih primjera do nekih malo složenijih da čitatelj treba biti pažljiviji.

Slika 2. Nekoliko obrađenih primjera dopunskih kutova. Izvor: F. Zapata.

Primjer A

Na slici imamo da se susjedni kutovi α i 35º dovode do ravnog kuta. To jest, α + 35º = 180º i zato je tačno da je: α = 180º- 35º = 145º.

Primjer B

Budući da je β dopunski s kutom od 50º, tada slijedi da je β = 180º - 50º = 130º.

Primjer C

Iz slike 2C može se vidjeti slijedeći zbroj: γ + 90º + 15º = 180º. Odnosno, γ je dopunski s kutom 105º = 90º + 15º. Zaključuje se da:

γ = 180º- 105º = 75º

Primjer D

Budući da je X dopunski na 72 °, slijedi da je X = 180 ° - 72 ° = 108 °. Nadalje, Y je dopunski s X, pa je Y = 180º - 108º = 72º.

I na kraju Z je dopunski sa 72º, dakle Z = 180º - 72º = 108º.

Primjer E

Kutovi δ i 2δ su dopunski, stoga je δ + 2δ = 180º. Što znači da je 3δ = 180º, a to nam zauzvrat omogućava pisanje: δ = 180º / 3 = 60º.

Primjer F

Ako kut nazivamo između 100º i 50º U, tada je U nadopunjujući ih oba, jer se opaža da njihov zbroj upotpunjava ravni kut.

Odmah slijedi da je U = 150º. Budući da je U suprotna s vrhom W, tada je W = U = 150º.

vježbe

Tri su vježbe predložene u nastavku, u svima njima se moraju naći vrijednosti kutova A i B u stupnjevima, tako da se ispune odnosi prikazani na slici 3. Koncept dopunskih kutova koristi se pri rješavanju svih njih.

Slika 3. Slika za rješavanje vježbi I, II i III na dopunskim kutovima. Svi su kutovi u stupnjevima. Izvor: F. Zapata.

- Vježba I

Odredite vrijednosti kutova A i B iz dijela I) na slici 3.

Riješenje

A i B su dopunski, iz čega imamo da je A + B = 180 stupnjeva, tada je izraz A i B supstituiran kao funkcija x, kao što se pojavljuje na slici:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Dobiva se linearna jednadžba prvog reda. Da biste ga riješili, pojmovi su grupirani u nastavku:

6 x + 60 = 180

Podjelu oba člana sa 6 imamo:

x + 10 = 30

I na kraju rješavanja, slijedi da x vrijedi 20º.

Sada moramo priključiti vrijednost x da bismo pronašli tražene kutove. Dakle, kut A je: A = 20 +15 = 35º.

A sa svog dijela, kut B je B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Vježba II

Pronađite vrijednosti kutova A i B iz dijela II) na slici 3.

Riješenje

Budući da su A i B dopunski kutovi, imamo da je A + B = 180 stupnjeva. Zamjenjujući izraze za A i B kao funkcije x danog u dijelu II) slike 3, imamo:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Opet se dobiva jednadžba prvog stupnja, za koju pojmovi moraju biti prikladno grupirani:

6 x + 60 = 180

Podjelu oba člana sa 6 imamo:

x + 10 = 30

Iz čega proizlazi da x vrijedi 20º.

Drugim riječima, kut A = -2 * 20 + 90 = 50º. Dok je kut B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Vježba III

Odredite vrijednosti kutova A i B iz dijela III) slike 3 (zelenom bojom).

Riješenje

Budući da su A i B dopunski kutovi, imamo da je A + B = 180 stupnjeva. Moramo zamijeniti izraze za A i B kao funkciju x datu na slici 3 iz koje imamo:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Podijeliti oba člana sa 12 da bismo riješili vrijednost x, imamo:

x + 5 = 15

Napokon se utvrđuje da x vrijedi 10 stupnjeva.

Sada nastavljamo s nadomještanjem da bismo pronašli kut A: A = 5 * 10 -20 = 30º. A za kut B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Dopunski kutovi u dvije paralele presječeni sekantom

Slika 4. Kutovi između dviju paralela presječenih sekantom. Izvor: F. Zapata.

Dvije paralelne crte presječene sekantom uobičajena su geometrijska konstrukcija u nekim problemima. Između takvih linija formira se 8 uglova kao što je prikazano na slici 4.

Od tih 8 kutova, neki par kutova su dodatni, koje navodimo u nastavku:

1. Vanjski kutovi A i B, a vanjski kutovi G i H
2. Unutarnji kutovi D i C, a unutarnji kutovi E i F
3. Vanjski kutovi A i G, a vanjski kutovi B i H
4. Unutarnji kutovi D i E, a interijeri C i F

Radi potpunosti, kutovi jednaki jedni drugima također su imenovani:

1. Interni se izmjenjuju: D = F i C = E
2. Vanjske se izmjenjuju: A = H i B = G
3. Odgovarajuće: A = E i C = H
4. Suprotnosti vrhovima A = C i E = H
5. Odgovarajuće: B = F i D = G
6. Vrhovna suprotnost B = D i F = G

- Vježba IV

Prema slici 4, koja prikazuje kutove između dviju paralelnih linija presječenih sekantom, odredite vrijednost svih kutova u radijanima, znajući da je kut A = π / 6 radijana.

Riješenje

A i B su dodatni vanjski kutovi, tako da su B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Reference

1. Baldor, JA 1973. Geometrija ravnina i svemira. Srednjoamerički kulturni.
2. Matematički zakoni i formule. Sustavi za mjerenje kuta. Oporavak od: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Ravna geometrija. Oporavilo sa: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Dodatni kutovi. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transporter. Oporavak od: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: povijest, dijelovi, operacija. Oporavilo od: lifeder.com