KOMPLEMENTARNI KUTOVI: KOJI SE I KAKO IZRAČUNAVAJU, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2025

Dva ili više kutova su komplementarni kutovi ako zbroj njihovih mjera odgovara vrijednosti pravog kuta. Kao što je poznato, mjera pravog kuta u stupnjevima je 90º, a u radijanima je π / 2.

Na primjer, dva kuta koja se nalaze uz hipotenuzu desnog trokuta komplementarna su jedna drugoj jer je zbroj njihovih mjera 90 °. Sljedeća slika je vrlo ilustrativna u tom pogledu:

Slika 1. S lijeve strane nekoliko kutova s ​​zajedničkom vrhom. Desno, kut od 60 ° koji nadopunjuje kut α (alfa). Izvor: F. Zapata.

Na slici 1 prikazana su ukupno četiri kuta. α i β komplementarni su jer su susjedni i njihov zbroj upotpunjava pravi kut. Slično je β komplementarno γ, iz čega proizlazi da su γ i α jednake mjere.

Sada, budući da je zbroj α i δ jednak 90 stupnjeva, može se reći da su α i δ komplementarni. Nadalje, budući da β i δ imaju iste komplementarne α, može se reći da β i δ imaju istu mjeru.

Primjeri komplementarnih kutova

Sljedeći primjeri traže pronalaženje nepoznatih kutova, označenih upitnicima na slici 2.

Slika 2. Razni primjeri komplementarnih kutova. Izvor: F. Zapata.

- Primjeri A, B i C

Sljedeći su primjeri redoslijed složenosti.

Primjer A

Na gornjoj slici imamo da se susjedni kutovi α i 40º dovode pod pravim kutom. To jest α + 40º = 90º, dakle α = 90º- 40º = 50º.

Primjer B

Budući da je β komplementarni kutu od 35º, tada je β = 90º - 35º = 55º.

Primjer C

Iz slike 2C imamo da je zbroj γ + 15º + 15º = 90º. Drugim riječima, γ je komplementarna kutu 30º = 15º + 15º. Tako da:

γ = 90º- 30º = 60º

- Primjeri D, E i F

U tim je primjerima uključeno više uglova. Da bi pronašao nepoznanice, čitatelj mora primijeniti koncept komplementarnog kuta onoliko puta koliko je potrebno.

Primjer D

Budući da je X komplementarni 72º, slijedi da je X = 90º - 72º = 18º. Nadalje, Y nadopunjava X, pa je Y = 90º - 18º = 72º.

Konačno, Z je komplementarno Y. Iz svega navedenog proizlazi da:

Z = 90º - 72º = 18º

Primjer E

Kutovi δ i 2δ su komplementarni, stoga je δ + 2δ = 90º.

Odnosno, 3δ = 90º, što znači da je δ = 90º / 3 = 30º.

Primjer F

Ako nazivamo kut između que i 10º U, tada je U nadopunjujući ih obojicu, jer se opaža da njihov zbroj upotpunjava pravi kut. Iz čega proizlazi da je U = 80º. Budući da je U komplementarna ω, tada je ω = 10º.

vježbe

U nastavku su predložene tri vježbe. U svim njima mora se naći vrijednost kutova A i B u stupnjevima, tako da se ispune odnosi prikazani na slici 3.

Slika 3. Ilustracije za komplementarne vježbe kuta. Izvor: F. Zapata.

- Vježba 1

Odredite vrijednosti kutova A i B iz dijela I) na slici 3.

Riješenje

Iz prikazane slike vidi se da su A i B komplementarni, dakle A + B = 90º. Zamijenimo izraze za A i B kao funkciju x datu u dijelu I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Pojmovi se zatim grupiraju na odgovarajući način i dobiva se jednostavna linearna jednadžba:

(5x / 2) + 22 = 90

Oduzimanje 22 u oba člana imamo:

5x / 2 = 90 -22 = 68

I na kraju se briše vrijednost x:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Sada se kut A pronalazi zamjenom vrijednosti X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20.6 º.

Dok je kut B:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5. = 69.4º.

- Vježba 2

Pronađite vrijednosti kutova A i B slike II, slika 3.

Riješenje

Opet, budući da su A i B komplementarni kutovi, slijedi da su: A + B = 90º. Zamjenjujući izraze za A i B kao funkcije x danog u dijelu II) slike 3, imamo:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Slični pojmovi su grupirani zajedno kako bi se dobila jednadžba:

6 x + 30 = 90

Ako oba člana podijelite na 6, dobivate:

x + 5 = 15

Iz čega proizlazi da je x = 10º.

Tako:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Vježba 3

Odredite vrijednosti kutova A i B iz dijela III) na slici 3.

Riješenje

Ponovno se lik pažljivo analizira kako bi se pronašli komplementarni kutovi. U ovom slučaju imamo da je A + B = 90 stupnjeva. Zamjenjujući izraze za A i B kao funkcije x danog na slici, imamo:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Podjela oba člana s 3 rezultata na sljedeće:

x + 10 = 30

Iz čega proizlazi da je x = 20º.

Drugim riječima, kut A = -20 +45 = 25º. I sa svoje strane: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Okomiti bočni kutovi

Za dva kuta se kaže da imaju okomite strane ako svaka strana ima odgovarajući okomiti na drugi. Sljedeća slika pojašnjava pojam:

Slika 4. Kutovi okomitih strana. Izvor: F. Zapata.

Na slici 4, primjerice, opažaju se kutovi α i θ. Sad primijetite da svaki kut ima odgovarajući okomiti na drugi kut.

Također se vidi da α i θ imaju isti komplementarni kut z, stoga promatrač odmah zaključuje da α i θ imaju istu mjeru. Čini se tada da ako dva kuta imaju stranice okomito jedna na drugu, jednaki su, ali pogledajmo drugi slučaj.

Sada razmotrite kutove α i ω. Ova dva kuta imaju i odgovarajuće okomite strane, no ne može se reći da su jednake mjere, jer je jedan akutan, a drugi tup.

Imajte na umu da je ω + θ = 180º. Nadalje θ = α. Ako zamijenite ovaj izraz za z u prvoj jednadžbi dobivate:

δ + α = 180º, gdje su δ i α međusobno okomiti kutovi strana.

Opće pravilo za kutove okomitih strana

1. Baldor, JA 1973. Geometrija ravnina i prostora. Srednjoamerički kulturni.
2. Matematički zakoni i formule. Sustavi za mjerenje kuta. Oporavak od: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Ravna geometrija. Oporavilo sa: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Komplementarni kutovi. Oporavak od: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transporter. Oporavak od: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: povijest, dijelovi, operacija. Oporavilo od: lifeder.com