SASTAVLJENI BROJEVI: KARAKTERISTIKE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

U spojevi brojevi su oni cijeli brojevi koji imaju više od dva razdjelnika. Ako pogledamo izbliza, svi su brojevi barem djeljivi točno od njih samih i od 1. Oni koji imaju samo ta dva razdjelnika nazivaju se primesima, a oni koji imaju više su složeni.

Pogledajmo broj 2 koji se može podijeliti samo između 1 i 2. Broj 3 također ima dva razdjelnika: 1 i 3. Prema tome, oba su glavna. Pogledajmo sada broj 12 koji točno možemo podijeliti s 2, 3, 4, 6 i 12. Ako imamo 5 djelitelja, 12 je složeni broj.

Slika 1. Primarni brojevi u plavoj boji mogu biti predstavljeni samo jednim redom točkica, a ne složeni crveni brojevi. Izvor: Wikimedia Commons.

A što se događa s brojem 1, onim koji dijeli sve ostale? Pa nije primarno jer nema dva razdjelnika i nije složena, dakle 1 ne spada u nijednu od ove dvije kategorije. Ali postoje mnogi, mnogo više brojeva.

Sastavljeni brojevi mogu se izraziti kao produkt pravih brojeva, a ovaj je proizvod, osim u redoslijedu faktora, jedinstven za svaki broj. U to se osigurava temeljna aritmetička teorija dokazana od grčkog matematičara Euclida (325.-365. Pr. Kr.).

Vratimo se broju 12 koji možemo izraziti na različite načine. Pokušajmo nekoliko:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Oblici koji su podebljani podebljani su proizvodi glavnih brojeva, a jedino što se mijenja je redoslijed faktora, za koje znamo da ne mijenjaju proizvod. Ostali obrasci, iako vrijede za izražavanje broja 12, ne sastoje se samo od početnih slojeva.

Primjeri složenih brojeva

Ako želimo složiti broj u njegove glavne faktore, moramo ga podijeliti između pravih brojeva na način da je podjela točna, to jest, ostatak je 0.

Taj se postupak naziva primarna faktorizacija ili kanonička dekompozicija. Glavni se čimbenici mogu podići na pozitivne pokazatelje.

Dekomponirat ćemo broj 570, uz napomenu da je paran i stoga djeljiv sa 2, što je jednostavno broj.

Koristit ćemo traku da odvojimo broj slijeva od razdjelnika s desne strane. Dotični kvocijenti stavljaju se pod brojem kako su dobiveni. Razgradnja je gotova kada je posljednja brojka u lijevom stupcu 1:

570 │2

285 │

Kada dijelimo s 2, kvocijent je 285, a djeljiv je sa 5, što je još jedan pravan broj, a završava sa 5.

570 │2

285 │5

57 │

57 je djeljivo sa 3, također prašinom, jer je zbroj njegovih znamenki 5 + 7 = 12 više od 3.

570 │2

285 │5

57 │3

19 │

Konačno dobivamo 19, što je premoćan broj, a djelitelji su 19 i 1:

570 │2

285 │5

57 │3

19 │19

1 │

Dobivanjem 1 možemo izraziti 570 na ovaj način:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

A vidimo da je to zapravo proizvod 4 glavna broja.

U ovom primjeru započinjemo dijeljenje sa 2, ali isti bi faktori (drugim redoslijedom) bili dobiveni kada bismo, primjerice, započeli dijeljenjem s 5.

Slika 2. Kompozitni broj 42 također se može rastaviti pomoću dijagrama u obliku stabla. Izvor: Wikimedia Commons.

Kriteriji za podjelu

Da bi se složeni broj razgradio u njegove glavne faktore, potrebno ga je točno podijeliti. Kriteriji za podjelu između pravih brojeva su pravila koja omogućuju da se zna kada je neki broj točno djeljiv s drugim, bez potrebe za pokušajem ili dokazivanjem.

- Dijeljenje s 2

Svi parni brojevi, oni koji završavaju sa 0 ili parnim brojem, dijele se sa 2.

- Razdvajanje za 3

Ako je zbroj znamenki broja višestruki od 3, tada je i broj također i stoga je djeljiv sa 3.

- Razdvajanje na 5

Brojevi koji završavaju sa 0 ili 5 dijele se sa 5.

-Dostupnost do 7

Broj je djeljiv sa 7 ako odvojimo zadnju znamenku, množimo je sa 2 i oduzimamo preostali broj, dobivena vrijednost je višestruka od 7.

Ovo se pravilo čini malo složenijim od prethodnih, ali u stvarnosti to i nije toliko, pa pogledajmo primjer: hoće li 98 biti djeljivo sa 7?

Slijedimo upute: odvojimo posljednju brojku koja je 8, množimo je s 2 što daje 16. Broj koji ostaje pri odvajanju 8 je 9. Oduzimamo 16 - 9 = 7. A budući da je 7 višestruko od sebe, 98 je djeljivo između 7.

-Dostupnost do 11

Ako se zbroj brojeva u parnom položaju (2, 4, 6…) oduzme od zbroja brojeva u neparnom položaju (1, 3, 5, 7…) i dobijemo 0 ili više od 11, broj je djeljiv sa 11.

Prvi se množitelji od 11 lako prepoznaju: oni su 11, 22, 33, 44… 99. Ali pažnja, 111 nije, umjesto toga je 110.

Kao primjer, pogledajmo je li 143 višestruki od 11.

Ovaj broj ima 3 znamenke, jednostruka znamenka je 4 (druga), dvije su neparne znamenke 1 i 3 (prva i treća), a njihov je zbroj 4.

Oduzimaju se oba zbroja: 4 - 4 = 0 i budući da se dobije 0, ispada da je 143 višestruko od 11.

-Dostupnost do 13

Broj bez znamenke mora se oduzeti od 9 puta više od znamenke. Ako se broj vrati 0 ili više od 13, broj je višestruki od 13.

Kao primjer provjerit ćemo da je 156 višekratnik 13. Brojka je 6, a broj koji ostaje bez njega je 15. Pomnožimo 6 x 9 = 54 i oduzimamo 54 - 15 = 39.

Ali 39 je 3 x 13, pa je 56 višestruko 13.

Zbrojite jedan drugoga

Dva ili više osnovnih ili složenih brojeva mogu biti prazna ili složena. To znači da je jedini zajednički razdjelnik 1.

Dva su važna svojstva kojih se treba prisjetiti kada su u pitanju primjerci:

-Dva, tri i više uzastopnih brojeva uvijek su glavni jedan za drugoga.

- Isto se može reći za dva, tri ili više uzastopnih neparnih brojeva.

Na primjer, 15, 16 i 17 su jednolični brojevi jedni drugima, pa tako su i 15, 17 i 19.

Kako znati koliko djelitelja ima složeni broj

Jednostavni broj ima dva djelitelja, isti broj i 1. A koliko djelitelja ima složeni broj? To mogu biti rođaci ili spojevi.

Neka je N složeni broj izražen u smislu njegove kanonske dekompozicije na sljedeći način:

N = a ⁿ. b ^m. c ^p … r ^k

Tamo gdje su a, b, c… r glavni faktori i n, m, p… k odgovarajući eksponenti. Pa, broj djelitelja C koji je N dao je:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

Sa C = glavni razdjelnici + složeni djelitelji + 1

Na primjer 570, koji se izražava ovako:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Svi glavni faktori su poviseni na 1, dakle 570 ima:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 djelitelja

Od tih 10 djelitelja već znamo: 1, 2, 3, 5, 19 i 570. Nedostaje još 10 djelitelja, koji su složeni brojevi: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 i 285. Pronalaze se promatranjem razgradnje u glavne faktore i množenjem kombinacija tih faktora zajedno.

Riješene vježbe

- Vježba 1

Razvrstajte sljedeće brojeve u glavne faktore:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Rješenje za

98 │2

49 │7

7 │7

1 │

98 = 2 x 7 x 7

Rješenje b

143 │11

13 │13

1 │

143 = 11 x 13

Rješenje c

540 │5

108 │2

54 │2

27 │3

9 │3

3 │3

1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Rješenje d

3705 │5

741 │3

247 │13

19 │19

1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Vježba 2

Otkrijte jesu li sljedeći brojevi jedan za drugoga najbolji:

6, 14, 9

Riješenje

-Dijelnici od 6 su: 1, 2, 3, 6

-S obzirom na 14, djeljiv je sa: 1, 2, 7, 14

-Na kraju 9 ima kao djelitelje: 1, 3, 9

Jedini razdjelnik koji im je zajednički je 1, pa su međusobno glavni.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Izdanja i distribucije Kodeksa.
2. Byju-a. Primarni i složeni brojevi. Oporavilo od: byjus.com.
3. Primarni i složeni brojevi. Oporavak od: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Kriteriji za podjelu Oporavak od: smartick.es.
5. Wikipedia. Sastavljeni brojevi. Oporavilo sa: en.wikipedia.org.