INVERZNA MATRICA: PRORAČUN I RIJEŠENA VJEŽBA - MATEMATIKA - 2026

Inverzna matrica određenog matrice je matrica koja pomnožena s izvornikom daje matricu identiteta. Inverzijska matrica je korisna za rješavanje sustava linearnih jednadžbi, pa je stoga važno znati kako je izračunati.

Matrice su vrlo korisne u fizici, inženjerstvu i matematici, jer su kompaktno sredstvo za rješavanje složenih problema. Korisnost matrica se povećava kada su invertibilne, a poznata je i njihova inverzija.

Slika 1. Prikazana je generička 2 × 2 matrica i njena inverzna matrica. (Pripremio Ricardo Pérez)

U područjima grafičke obrade, Big Data, Rudarstvo podataka, Strojno učenje i drugi, učinkoviti i brzi algoritmi koriste se za procjenu inverzne matrice nxn matrica s vrlo velikim n, redom tisuća ili milijuna.

Kako bismo ilustrirali uporabu inverzne matrice u rukovanju sustavom linearnih jednadžbi, započet ćemo s najjednostavnijim slučajem od svih: 1 × 1 matricama.

Najjednostavniji slučaj: smatra se linearna jednadžba pojedine varijable: 2 x = 10.

Ideja je pronaći vrijednost x, ali to će biti učinjeno "matricom".

Matrica M = (2) koja množi vektor (x) je matrica 1 × 1 koja rezultira vektorom (10):

M (x) = (10)

Inverzija matrice M označena je s M ^-1.

Općeniti način pisanja ovog "linearnog sustava" je:

MX = B, gdje je X vektor (x), a B je vektor (10).

Prema definiciji, inverzna matrica je ona koja se množi s izvornom matricom rezultira matricom identiteta I:

M ^-1 M = I

U razmatranom slučaju, matrica M ^-1 je matrica (½), to jest M ^-1 = (½), jer je M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Da bi se pronašao nepoznati vektor X = (x), u predloženoj jednadžbi oba člana se množe s obratnom matricom:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Dobijena je jednakost dva vektora koji su jednaki samo ako su njihovi odgovarajući elementi jednaki, to jest x = 5.

Izračunavanje obrnutosti matrice

Ono što motivira izračunavanje inverzne matrice je pronaći univerzalnu metodu za rješenje linearnih sustava, kao što je slijedeći sustav 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Prateći korake slučaja 1 × 1, proučavani u prethodnom odjeljku, pišemo sustav jednadžbi u obliku matrice:

Slika 2. Linearni sustav u obliku matrice.

Imajte na umu da je ovaj sustav zapisan u kompaktnim vektorskim notacijama na sljedeći način:

MX = B

gdje

Sljedeći je korak pronalaženje obrnutog M.

1. metoda: Korištenje Gaussove eliminacije

Primijenit će se Gaussova metoda uklanjanja. Ono što se sastoji od obavljanja elementarnih operacija na redovima matrice, to su:

- Pomnožite red s nultim brojem.

- Dodavanje ili oduzimanje drugog retka ili više od drugog retka.

- Zamijenite redove.

Cilj je, kroz ove operacije, pretvoriti izvornu matricu u matricu identiteta.

Kako se to radi, u matrici M primjenjuju se potpuno iste operacije na matricu identiteta. Kad se nakon nekoliko operacija na redovima, M transformira u jedinicu matrice, tada će ona koja je izvorno bila jedinica, postati inverzna matrica M, to jest M ^-1.

1- Postupak započinjemo pisanjem matrice M, a pokraj nje jedinične matrice:

2- Dodajemo dva reda i rezultat stavljamo u drugi red, na taj način dobivamo nulu u prvom elementu drugog reda:

3- Drugi red množimo s -1 da bismo dobili 0 i 1 u drugom redu:

4- Prvi red množimo s ½:

5- Dodaju se drugi i prvi, a rezultat se stavlja u prvi red:

6- Za završetak postupka, prvi se red množi sa 2 da bi se dobila matrica identiteta u prvom redu, a inverzna matrica izvorne matrice M u drugom:

To znači:

Rješenje sustava

Jednom kada se dobije inverzna matrica, sustav jednadžbi rješava se primjenom inverzne matrice na oba člana kompaktne vektorske jednadžbe:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Što izričito izgleda ovako:

Tada se provodi množenje matrice kako bi se dobio vektor X:

Metoda 2: upotreba priložene matrice

U ovom drugom postupku inverzna matrica se izračuna iz pridodat matrice izvorne matrice A.

Pretpostavimo matricu A koju daje:

gdje _{i, j} je element u nizu I i j stupcu matrice A.

Pridjev matrice A nazvat će se Adj (A) i njegovi su elementi:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

gdje Ai j je komplementarna niži matriks dobiven eliminira red I kolone i j izvornog matrice A. Trake | | ukazuju da determinanta se računa, što je , |Ai, j| je odrednica manje komplementarne matrice.

Formula obrnute matrice

Formula za pronalaženje obrnute matrice polazeći od susjedne matrice izvorne matrice je sljedeća:

Je inverzna matrica A, A ^-1, je Transpose je pridodat od A podijeljen s determinanta A.

Transponirani A ^T matrice A dobiva se izmjenom redaka za stupce, to jest, prvi redak postaje prvi stupac, a drugi red drugi stupac i tako dalje sve dok n redova izvorne matrice ne budu ispunjene.

Vježba riješena

Neka je matrica A sljedeća:

Izračunava se svaki element pridružene matrice A: Adj (A)

Iz toga proizlazi da je susjedna matrica A, Adj (A) sljedeća:

Tada se izračunava odrednica matrice A, det (A):

Konačno dobiva se inverzna matrica A:

Reference

1. Anthony Nicolaides (1994) Odrednici i matrice. Proći Publikaciju.
2. Awol Assen (2013) Studija o proračunu odrednica veličine 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Uvod u linearnu algebru. Uredništvo ESIC-a.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) Matematika od 30 sekundi: 50 najtežih teorija matematike. Ivy Press Limited.
7. Matrica. Akademsko izdavaštvo Lap Lambert.