OKOMITA LINIJA: KARAKTERISTIKE, PRIMJERI, VJEŽBE - MATEMATIKA - 2026

Okomiti linija je onaj koji tvori kut od 90 ° u odnosu na drugu liniju, krivulje ili ravnu površinu. Imajte na umu da kada su dvije linije okomite i leže na istoj ravnini, kada se presijecaju, tvore četiri identična kuta, svaki 90 °.

Ako jedan od kutova nije 90 °, kaže se da su linije ukošene. Okomite linije uobičajene su u dizajnu, arhitekturi i konstrukciji, na primjer cjevovodna mreža na sljedećoj slici.

Slika 1. Mreža cijevi pod pravim kutom i brojne okomite linije. Koliko 90 ° uglova se može računati na ovoj slici? Izvor: Piqsels.

Orijentacija okomitih linija može biti raznolika, poput onih prikazanih u nastavku:

Slika 2. Okomite linije na ravnini. Izvor: F. Zapata.

Neovisno o položaju, linije okomite jedna na drugu prepoznaju se pomoću identifikacije kuta između 90 °.

Imajte na umu da za razliku od paralelnih linija u ravnini, koje se nikad ne presijecaju, okomite crte uvijek to rade u točki P, zvanoj podnožje jedne od linija s druge. Stoga su i dvije okomite crte secirane.

Bilo koja linija ima beskonačne perpendikule, budući da ćemo samo pomicanjem segmenta AB ulijevo ili udesno na segmentu CD-a dobiti nove okomice drugom nogom.

Međutim, okomica koja prolazi točno kroz sredinu segmenta naziva se bisektorom tog segmenta.

Primjeri okomitih linija

Okomite linije uobičajene su u urbanom krajoliku. Na sljedećoj slici (slika 3) istaknuto je samo nekoliko brojnih okomitih linija koje se mogu vidjeti na jednostavnom pročelju ove zgrade i njenim elementima kao što su vrata, kanali, stepenice i više:

Slika 3. Na fasadi zajedničke zgrade poput ove nalazi se veliki broj okomitih linija. Izvor: Richard Kang putem Flickr-a.

Dobra stvar je što nam tri pravca okomito pomažu u uspostavljanju položaja točaka i predmeta u prostoru. Oni su koordinatne osi identificirane kao x-osi, y-osi i z-osi, jasno vidljive u kutu pravokutne sobe poput one u nastavku:

Slika 4. Kartezijanski sustav osi sastoji se od tri pravca okomito jedna na drugu, od kojih svaka ima preferencijalni smjer u prostoru. Lijevi slikovni krediti: treybunn 2 putem Flickr. Slika desno; Needpix.

U panorami grada s desne strane također se uočava okomitost između nebodera i tla. Prva koju bismo rekli je duž osi z, dok je tlo ravnina, što je u ovom slučaju ravnina xy.

Ako tlo čini ravninu xy, neboder je također okomit na bilo koji avenij ili ulicu, što jamči njegovu stabilnost, jer je nagnuta struktura nestabilna.

A na ulicama, gdje god postoje pravokutni uglovi, postoje okomite linije. Mnoge avenije i ulice imaju okomiti izgled, sve dok to teren i zemljopisne značajke to dopuštaju.

Za izražavanje skraćene okomitosti između linija, segmenata ili vektora koristi se simbol ⊥. Na primjer, ako je linija L ₁ okomita na liniju L ₂, pišemo:

L ₁ ⊥ L ₂

Više primjera okomitih linija

- U dizajnu su okomite linije vrlo prisutne jer se mnogi uobičajeni objekti temelje na kvadratima i pravokutnicima. Za ove četverostrane karakterizira unutarnji kut od 90 °, jer su njihove stranice paralelne dva po dva:

Slika 5. Trgovi i pravokutnici dio su mnogih dizajna, poput ove jednostavne kartonske kutije za pohranu robe. Izvor: F. Zapata.

- Tereni na kojima se treniraju različiti sportovi razgraničeni su brojnim trgovima i pravokutnicima. Oni zauzvrat sadrže okomite linije.

- Dva segmenta koji čine pravi trokut okomito su jedni na druge. Oni se nazivaju noge, dok se preostala linija naziva hipotenuza.

- Linije vektora električnog polja okomite su na površinu vodiča u elektrostatskoj ravnoteži.

- Za nabijeni provodnik izjednačene su potencijale i površine uvijek okomito na one električnog polja.

- U cjevovodima ili cjevovodima koji se koriste za prijevoz različitih vrsta tekućina, poput plina koji je prikazan na slici 1, uobičajeno je imati laktove pod pravim kutom. Stoga formiraju okomite linije, kao što je slučaj s kotlovnicom:

Slika 6. Cijevi u kotlovnici. Izvor: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

vježbe

- Vježba 1

Nacrtajte dvije okomite linije pomoću ravnala i kompasa.

Riješenje

To je vrlo jednostavno učiniti, slijedeći ove korake:

-Prta je prva crta, nazvana AB (crna).

-Označno (ili ispod ako želite) AB označite točku P, kroz koju će proći okomica. Ako je P neposredno iznad (ili ispod) sredina AB, taj okomit je bisektor segmenta AB.

-Kroz kompas usredotočen na P, nacrtajte krug koji siječe AB u dvije točke, nazvan A 'i B' (crvena).

-Kompas se otvara na A'P, usredotočuje se na A 'i crta se opseg koji prolazi kroz P (zeleno).

-Ponovite prethodni korak, ali sada otvaranje mjere duljinu segmenta B'P (zelena). Oba luka obima presijecaju se u točki Q ispod P i, naravno, u potonjoj.

- Točke P i Q spojene su sa ravnalom i okomita linija (plava) je spremna.

-Na kraju, sve pomoćne konstrukcije moraju se pažljivo izbrisati, ostavljajući samo one okomite.

Slika 6. Traženje okomitih linija s ravnalom i kompasom. Izvor: Wikimedia Commons.

- Vježba 2

Dvije linije L ₁ i L ₂ okomita, ako njihovi obronci m ₁ i m ₂ zadovoljava ovaj odnos:

m ₁ = -1 / m ₂

S obzirom na liniju y = 5x - 2, pronađite liniju okomitu na nju i koja prolazi kroz točku (-1, 3).

Riješenje

-Prvi je nagib okomite linije m _⊥, kako je navedeno u izjavi. Nagib izvorne crte je m = 5, koeficijent koji prati "x". Tako:

m _⊥ = -1/5

-Tada _{je sastavljena} jednadžba okomite linije y _⊥, zamjenjujući prethodno pronađenu vrijednost:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Sljedeće, vrijednost b se određuje uz pomoć točke koju daje izjava (-1,3), jer okomita linija mora proći kroz nju:

y = 3

x = -1

Uvrštavanjem:

3 = -1/5 (-1) + b

Riješite za vrijednost b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Na kraju, konačna jednadžba je sačinjena:

i _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Reference

1. Baldor, A. 2004. Geometrija ravnine i prostora. Kulturne publikacije.
2. Clemens, S. 2001. Geometrija s aplikacijama i rješavanje problema. Addison Wesley.
3. Math is fun. Okomite linije. Oporavilo od: mathisfun.com.
4. Monterey institut. Okomite linije. Oporavilo sa: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Okomite linije. Oporavak od: es.wikipedia.org.