AREOLARNA BRZINA: KAKO SE IZRAČUNAVA I RJEŠAVA VJEŽBE - FIZIČKA - 2024

Areolar brzina je područje swept po jedinici vremena i stalna. Specifičan je za svaki planet i proizlazi iz opisa Keplerovog drugog zakona u matematičkom obliku. U ovom ćemo članku objasniti što je to i kako se izračunava.

Bum koji predstavlja otkriće planeta izvan Sunčevog sustava ponovno je aktivirao interes za planetarno kretanje. Ništa nas ne tjera da vjerujemo da ti egzoplaneti slijede druge zakone osim onih koji su već poznati i važeći u Sunčevom sustavu: Keplerovi zakoni.

Johannes Kepler bio je astronom koji je bez pomoći teleskopa i pomoću opažanja svog mentora Ticha Brahe stvorio matematički model koji opisuje kretanje planeta oko Sunca.

Ovaj je model ostavio utjelovljenim u tri zakona koja nose njegovo ime i koji i danas vrijede jednako kao 1609. godine, kada je uspostavio prva dva, a 1618., datum kada je izgovorio treći.

Keplerovi zakoni

U današnjem govoru, Keplerova tri zakona glasila su ovako:

1. Orbite svih planeta su eliptične, a Sunce je u jednom fokusu.

2. Vektor pozicije od Sunca do planeta prolazi kroz jednaka područja u jednakim vremenima.

3. Kvadrat orbitalnog perioda planete proporcionalan je kocki polu-glavne osi opisane elipse.

Planeta će imati linearnu brzinu, kao i svaki poznati pokretni objekt. I još je uvijek nešto: kod pisanja Keplerovog drugog zakona u matematičkom obliku pojavljuje se novi koncept nazvan areolarna brzina, tipična za svaki planet.

Zašto se planeti eliptično kreću oko Sunca?

Zemlja i drugi planeti kreću se oko Sunca zahvaljujući činjenici da na njih djeluje sila: gravitacijska privlačnost. Isto se događa s bilo kojom drugom zvijezdom i planetima koji čine njen sustav, ako ih ima.

Ovo je sila tipa poznata kao središnja sila. Težina je središnja sila koju su svi upoznati. Objekt koji djeluje na središnju silu, bilo da se radi o Suncu ili udaljenoj zvijezdi, privlači planete prema svom središtu i oni se kreću u zatvorenoj krivulji.

U principu, ovu krivulju možemo približiti opsegu, kao što je to učinio Nicolás Kopernik, poljski astronom koji je stvorio heliocentričnu teoriju.

Odgovorna sila je gravitacijska privlačnost. Ta sila izravno ovisi o masama zvijezde i dotičnog planeta i obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti koja ih razdvaja.

Problem nije tako jednostavan, jer u solarnom sustavu svi elementi međusobno djeluju, dodajući složenost materiji. Nadalje, nisu čestice, budući da zvijezde i planeti imaju mjerljivu veličinu.

Iz tog razloga, središnja točka orbite ili kruga kojim putuju planeti nije točno usmjerena na zvijezdu, već na točku poznatu kao težište sustava sunčevog planeta.

Rezultirajuća orbita je eliptična. Sljedeća slika prikazuje to, uzimajući za primjer Zemlju i Sunce:

Slika 1. Zemljina orbita je eliptična, a Sunce se nalazi u jednom od žarišta. Kad se Zemlja i Sunce nalaze na najvećoj udaljenosti, za Zemlju se kaže da je u afeniju. A ako je udaljenost minimalna, tada govorimo o periheliju.

Afelij je najudaljeniji položaj na Zemlji od Sunca, dok je perihelion najbliža točka. Elipsa može biti više ili manje spljoštena, ovisno o karakteristikama sustava zvijezda-planet.

Vrijednosti afeiona i perihelija godišnje se mijenjaju, jer ostale planete uzrokuju poremećaje. Za druge planete, ove pozicije nazivamo apoaster ili periaster.

Veličina linearne brzine planeta nije konstantna

Kepler je otkrio da kada planeta orbitira protiv Sunca, za vrijeme svog gibanja ona briše jednaka područja u jednakim vremenima. Na slici 2 grafički je prikazano značenje ovoga:

Slika 2. Vektor pozicije planeta u odnosu na Sunce je r. Kada planet opiše svoju orbitu, putuje luk elipse Δs u vremenu Δt.

Matematički, činjenica da je ₁ jednako A ₂ se izražava ovako:

Presvođeni lukovi Δs su mali, tako da se svako područje može približno približiti kvadratu:

Budući da je Δs = v Δ t, gdje je v linearna brzina planeta u određenoj točki, zamjenom imamo:

A budući da je vremenski interval Δt isti, dobivamo:

Budući da je r ₂ > r ₁, tada v ₁ > v ₂, drugim riječima, linearna brzina planeta nije konstantna. U stvari, Zemlja ide brže kada je u periheliju nego kad je u afeliju.

Stoga linearna brzina Zemlje ili bilo kojeg planeta oko Sunca nije veličina koja služi za karakterizaciju kretanja navedenog planeta.

Areolarna brzina

Sljedećim primjerom pokazat ćemo kako izračunati areolarnu brzinu kada su poznati neki parametri gibanja planeta:

vježba

Prema Keplerovim zakonima, egzoplaneta se kreće oko svog sunca slijedeći eliptičnu orbitu. Kad je u perijastru, njegov vektor polumjera je r ₁ = 4 · 10 ⁷ km, a kada je kod apoastera, r je ₂ = 15 · 10 ⁷ km. Ravnomjerna brzina na njegovom perijasteru je v ₁ = 1000 km / s.

Izračunati:

A) Veličina brzine u apoastru.

B) Areolarna brzina egzo-planeta.

C) Duljina polu-glavne osi elipse.

Odgovor na)

Jednadžba se koristi:

u kojima se numeričke vrijednosti zamjenjuju.

Svaki je pojam identificiran na sljedeći način:

v ₁ = brzina u apoastru; v ₂ = brzina na perijastru; r ₁ = udaljenost od apoastera, r ₂ = udaljenost od perijastera.

Pomoću ovih vrijednosti dobivate:

Odgovor B)

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizika za znanost i inženjerstvo. Svezak 1. Meksiko. Udruživanje urednika za učenje. 367-372.
2. Stern, D. (2005). Keplerove tri zakona kretanja planeta. Oporavak od pwg.gsfc.nasa.gov
3. Napomena: predložena vježba preuzeta je i izmijenjena iz sljedećeg teksta u McGrawHill knjizi. Nažalost, to je izolirano poglavlje u pdf formatu, bez naslova ili autora: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf